专题06 勾股定理（压轴专练）2023-—2024学年苏科版八年级数学上册期末综合复习专题提优训练

专题06 勾股定理（压轴专练） 目录 【题型一 勾股定理的与折叠的综合问题】 1 【题型二 勾股定理的证明】 3 【题型三 勾股定理与动点问题】 6 【题型四 用勾股定理构造图形求解】 8 【题型五 勾股定理的应用】 10 【题型一 勾股定理的与折叠的综合问题】 例题：（2022上·山东济南·八年级统考期中）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 【变式训练】 1．（2022上·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在中，． (1)如图①，现将沿翻折，使点落在斜边上点处，若，，求的长； (2)如图②，现将沿直线翻折，使点落在点处，若，求证：； (3)如图③，作平分，动点在上运动，动点在上运动，若，，则的最小值为________． 2．（2022上·浙江衢州·八年级统考期末）如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12． (1)求BC边上的高线长． (2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE． ①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积． ②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长． 3．（2022上·江苏无锡·八年级统考期中）在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点． (1)如图1，当，时． 和有怎样的位置关系，为什么？ 若，，求线段的长． (2)如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数． 【题型二 勾股定理的证明】 例题：（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 【变式训练】 1．（2022下·广东深圳·七年级校联考期末）材料阅读：如图所示，已知直角梯形中，是上一点，，，，且，，现需探究直角三角形的三边、、之间的数量关系： (1)【初步探究】猜想三角形是否与三角形全等，若是，请说明理由； (2)【问题解决】请用两种含有，，的代数式的方法表示直角梯形的面积：______．______．由此，你能得到的、、的数量关系是：______． (3)【拓展应用】如图，等腰三角形中，是底边上的中点，，，、分别是线段和上的两个动点，求：的最小值． 2．（2020下·安徽合肥·八年级合肥一六八中学校考阶段练习）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图4的网格中，并标出字母所表示的线段． 3．（2019上·广东深圳·八年级统考期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 【题型三 勾股定理与动点问题】 例题：（2022