专题03 轴对称图形（知识梳理+培优专练） -2023-2024学年八年级数学上学期期末综合复习专题提优训练（苏科版）

专题03 轴对称图形（知识梳理+培优专练） 知识梳理 一、轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 2.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区 别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 (1)沿对称轴折叠 ,两个图形重合; (2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 (1)沿对称轴折叠,图形的两部分重合; (2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形,那么这两个图形成轴对称 二、轴对称的性质 轴对称图形具有以下的性质： （1）成轴对称的两个图形全等； （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线； 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。 轴对称图形性质的应用： 可以通过对称轴的一边从而画出另一边。 可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。 3、 设计轴对称图案 几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形,只要画出图形中的- -些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形. 画轴对称图形的步骤简单归纳如下: (1)找一 在原图形上找特殊点(如线段的端点); (2)画一画 各个特殊点关于对称轴的对称点;(3)连一依次连接各对称点. 如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴. 同样,对于轴对称图形,只要找到任意一-组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 在轴对称图形(包括关于某直线对称的两个图形)中,对称轴两边的图形是全等形,它们的对应边相等,对应角相等,对称点的连线被对称轴垂直平分.解决实际问题,需分析实际情况,再解答.如镜子中的图形与实际图形左.右对称,水中倒影与实际图形上、下对称. 四、线段、角的轴对称性 由于线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,角平分线上的点到角的两边的距离相等，因此可利用此性质解决距离相等的问题，解题时应注意两者的区别. 利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,可解决实际问题,如确定位置问题，主要运用了作线段垂直平分线解决问题的方法,因此,对现实生活中的问题要注意与数学的联系. 利用垂直平分线的性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题. 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 2.角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 五、等腰三角形的轴对称性 1.等腰三角形的有关定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. (1)顶角是 直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. (2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶角还是底角,需要分类讨论. 2.等腰三角形的性质 (1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 应用模式:在△ABC中, :AB=AC.∠B=∠C. ①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②应用这个性质时,必须在同-一个三角形中. 3.等腰三角形的判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形. (2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证明一