专题02 全等三角形的七大模型（压轴专练） -2023—-2024学年苏科版八年级数学上册期末综合复习专题提优训练

专题02 全等三角形的七大模型（压轴专练） 目录 【题型一 手拉手模型】 1 【题型二 半角模型】 2 【题型三 对角互补模型】 3 【题型四 三垂直模型】 6 【题型五 一线三等角模型】 6 【题型六 雨伞模型】 7 【题型七 胖瘦模型】 8 【题型一 手拉手模型】 模型一：手拉手模型 （一）有公共顶点的等边三角形 （二）有公共顶点的等腰直角三角形 （三）顶角相等的等腰三角形 例题：[问题提出] （1）如图均为等边三角形，点分别在边上．将绕点沿顺时针方向旋转，连结．在图中证明． [学以致用] （2）在的条件下，当点在同一条直线上时，的大小为 度． [拓展延伸] （3）在的条件下，连结．若直接写出的面积的取值范围． 【题型二 半角模型】 模型二： 半角模型 （一）等边三角形中120含60半角模型 （二）等腰直角三角形中90含45半角模型 例题：已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明） （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【题型三 对角互补模型】 模型三： 对角互补模型 （一）“共斜边等腰直角三角形＋直角三角形”模型（异侧型） 已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB＋AC＝AD． （二）“共斜边等腰直角三角形＋直角三角形”模型（同侧型） 已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB－AC＝AD． （三）“等边三角形对120°模型”． △ABC是等边三角形，∠BPC＝120°，则有PB＋PC＝PA； （四）“120°等腰三角形对60°模型” △ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∠BPC＝60°，则有PB＋PC＝PA； 例题：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________. 【题型四 三垂直模型】 模型四： 三垂直模型 例题：如图，AB＝BC， AB⊥BC， AE⊥BD于F，BC⊥CD， 求证：EC＝AB－CD． 【题型五 一线三等角模型】 模型五： 一线三等角模型 题型特征：图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B＝∠2＝∠C 解题方法：只要题目再出现一组等边（BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC），必证△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 证明过程：∵∠1＝180°－∠2－∠3，∠4＝180°－∠C－∠3，∵∠2＝∠C，∴∠1＝∠4，∵∠B＝∠C，若BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC，则△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 例题：如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【题型六 雨伞模型】 模型六： 雨伞模型 模型讲解 【结论】如图，是的平分线，，垂足为O，延长交于点D，则，． 【证明】根据题意得，在与中， ， ． 例题： 已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【题型七 胖瘦模型】 模型七： 边边角模型（胖瘦模型） 胖瘦模型——两条边对应相等，一组角对应相等，两个角互补． 模型讲解 【模型】如