4.3.2 等比数列前n项和公式 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

又一个天气凉爽的春日 又一堂高朋满座的聚会 又一群求知若渴的学子 又一刻续写精彩的契机 这一切,都是为了两个字 ----“教”和“学” 国王赏麦的故事 国际象棋起源于印度,棋盘上共有8行8列构成64个格子。传说国王要奖赏发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在棋盘的第2个格子里放上2颗麦粒，在棋盘的第3个格子里放上4颗麦粒，在棋盘的第4个格子里放上8颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求。”国王不假思索就欣然答应了他的要求.他真能做到吗？ 一、创设情境 形式如此优美的一列数，蕴涵着什么规律 ？ 等比数列的前n项和 一则故事潜藏着巨大的数学玄机 一种渴望已在心头升腾 一种冲动将在无限的希冀中付诸行动 数学源于生活 数学用于生活 请同学们考虑如何求出这个和？ 求一个数列的前 n 项和, 我们学过哪些方法? 1.裂项相消法 2.倒序相加法 相反的数 二、探究问题 日月交替，斗转星移， 万物都有其必须遵循的内在规律。 + (等差数列求和方法回顾) n个相同的数 2.倒序相加法 1.裂项相消法 相反的数 构造相反相同项，化繁为简。 新知旧知互迁移 探索当中寻奥秘 ① ② ①—② ，得 假定千粒麦子的质量为40克，那么发明者所要的麦粒的总质量超过了7000亿吨，是全世界1000多年的小麦总产量.因此，国王不能他们的要求. 这种求和的方法,就是错位相减法! 请同学们考虑如何求出这个和？ q - 1 等比数列 ,公比为 ,它的前 项和 错位相减法 三、类比解决 裂项错项能相消，求和运算巧构想。 思考：推导等比数列的前项和公式，还有其它方法吗？ 求等比数列的Sn: ① ② ①—② ，得 等式两边能否同除以（1-q）？ 需要分类讨论！ 解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高! 等比数列的前n项和公式 当q≠1时， 当q＝1时， 或 ① ② 什么时候用公式①, 什么时候用公式② ? 思考： 当已知a1, q, n 时用公式①； 当已知a1, q, an时，用公式②. 等差数列 等比数列 定义 通项公式 性质 Sn 等差等比两兄弟，公式性质可相仿!  q≠1 注：在a1,q,n,an,sn中，知三求二. 四、巩固提高 发掘玄机的过程是艰辛的， 但只要坚持不懈还怕找不到个中的玄妙吗？ 兄弟无数(链接） 兄弟一二三四五 兄弟个十百千万 等差数列 等比数列 等差等比，夜空中万千星点 等差等比，高考里无限光华 歌曲欣赏 五、归纳小结 1.等比数列求和公式以及公式的应用； 3.数学思想：类比、由特殊到一般 、分类讨论思想、 方程思想等。 2.等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。 等比数列前n项和公式的推导欣赏 当 q = 1 时 Sn = n a1 因为 所以 (一) 用等比性质推导 （二）借助和式的代数特征进行恒等变形 当q=1时， 当q≠1时， 精妙! 2 3）因此，如果两边把等式两边同乘以公比2从而有： 如何求和 1） 等式右边各项有什么特点？ 等比数列64项和 2） 公比是多少？ 思维漂亮! 问题:如何求等比数列{an}的前n项和Sn： 经典! 课堂练习 1. 用等比数列求和公式求和： 2.判断正误： (1) (2) 课堂练习 例1．已知 是等比数列，请完成下表： 题号 (1) —　　　 　　 (2) — 　　 (3) 　　 　　 变式4：求 的前n项和． 变式3.求 的前n项和． $$