专题02 不等式与复数（6大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题02 不等式与复数 【目录】 1 2 3 4 11 考点一：基本不等式二元式 11 考点二：和式与积式 13 考点三：柯西不等式二元式 16 考点四：齐次化与不等式最值 18 考点五：复数的四则运算 22 考点六：复数的几何意义 23 有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档. 考点要求 考题统计 考情分析 基本不等式 2023年上海卷第6题，4分 2022年上海卷第14题，5分 2022年新高考II卷第12题，5分 2021年上海卷第16题，5分 2023年天津卷第13题，5分 【命题预测】 预测2024年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2024年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！ 复数的四则运算 2023年新高考I卷第2题，5分 2023年新高考甲卷第2题，5分 2023年新高考乙卷第1题，5分 2022年新高考II卷第2题，5分 复数的几何意义 2023年新高考II卷第1题，5分 2023年上海卷第11题，5分 2022年新高考乙卷第2题，5分 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 4、对复数几何意义的理解及应用 （1）复数，复平面上的点及向量相互联系，即；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 1．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是　　 A． B． C． D． 3．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　 A． B． C． D． 4．（2023•新高考Ⅰ）已知，则　　 A． B． C．0 D．1 5．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2023•甲卷）　　 A． B．1 C． D． 7．（2023•乙卷）　　 A．1 B．2 C． D．5 8．（2022•新高考Ⅱ）　　 A． B． C． D． 9．（2022•甲卷）若，则　　 A． B． C． D． 10．（2022•乙卷）已知，且，其中，为实数，则　　 A．， B．， C．， D．， 11．（2022•新高考Ⅰ）若，则　　 A． B． C．1 D．2 12．（2021•甲卷）已知，则　　 A． B． C． D． 13．（2021•新高考Ⅰ）已知，则　　 A． B． C． D． 14．（2021•新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2021•乙卷）设，则　　 A． B． C． D． 16．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则　　 A． B． C． D． 17．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为 　　． 18．（2021•天津）已知，，则的最小值为 　　． 19．（2023•上海）已知，且为虚数单位），满足，则的取值范围为 　　． 考点一：基本不等式二元式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 不等式可变形为：或，其中． 例1．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 例2．（2023·山西太原·高三统考期中）已知（，且），，则下列结论正确的是（    ）