3.1.3 组合和组合数（第2课时 组合和组合数的应用）（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第二册）

2023-2024学年高二数学同步精品课堂 3.1.3 组合和组合数 第三章 排列、组合和二项式定理 高二选择性必修第二册（2019人教B版） 第2课时 组合和组合数的应用 01 学习目标 01 学习目标 1.掌握有条件限制的组合问题的解决方法。（重点） 2.掌握分组分配问题的组合问题的解决方法.（难点） 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算 02 题型分类 【例1】 某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为(　　) A．19　　　　　　　　　　 B．38 C．55 D．65 题型一 有限制的组合问题 【解析】　至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，所以不同选派方案种数为＋＝65.故选D. 【练习1】 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选。 题型一 有限制的组合问题 【解析】（1）－＝825(种). （2）至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， 所以共有＋＋＝966(种)选法. 【总结】 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 题型一 有限制的组合问题 【例2】（1）6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ ①每组2本； ②一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)。 题型二 不同元素分组分配问题 【解析】　每组2本，均分为3组的分组种数为＝＝15. 一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为＝20×3＝60. 【例2】（2）6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ ①每组2本； ②一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； ③一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). 题型二 不同元素分组分配问题 【解析】　①每组2本，均分为3组的分组种数为＝＝15. ②一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为＝20×3＝60. ③一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝＝15. 【练习2】我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情．现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为(　　) A．116　B．100 C．124 D．90 题型二 不同元素分组分配问题 【解析】分两步进行： 第一步，将5名医学专家分为3组， ①若分为3，1，1的三组，有＝10种分组方法； ②若分为2，2，1的三组，有＝15种分组方法， 故有10＋15＝25种分组方法． 【总结】“分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 题型二 不同元素分组分配问题 【例3】把12个相同的笔记本分给3个同学，每个同学至少一本，有________种分法． 题型三 相同元素分组分配问题 【解析】假设把12个相同的笔记本排成一排，笔记本与笔记本之间有11个空隙，从中选2个空隙各插入一个隔板，12个笔记本就被分成3组，按顺序对应到3个同学，每一种插隔板方法对应一种分法，共有＝55种分法． 【练习3】将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子. 题型三 相同元素分组分配问题 【解析】（1）先把6个相同的小球排成一行， 然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板， 故共有＝10(种)放法. （2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有＝40(种)放法. 【总结】相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问