专题04 二项式定理与杨辉三角题型全归纳（19种题型）-学霸满分·2023-2024学年高二数学上学期重难点专题提优训练（人教B版2019选择性必修第二册）

专题04 二项式定理与杨辉三角题型全归纳（19种题型） 目录 【题型一】求二项展开式 1 【题型二】二项展开式的应用 3 【题型三】二项展开式的特定项 5 【题型四】多项式与二项式乘积 8 【题型五】求指定项的二项式系数 9 【题型六】二项式系数的增减及最值 11 【题型七】二项式系数和 13 【题型八】特定项的系数 16 【题型九】有理项 18 【题型十】根据已知条件求未知参数 20 【题型十一】二项展开式各项的系数和 24 【题型十二】项的系数的最大（小）值 27 【题型十三】奇次项与偶次项的系数和 29 【题型十四】三项式 33 【题型十五】两个二项式乘积 35 【题型十六】整除和余数问题 36 【题型十七】近似计算问题 39 【题型十八】证明组合恒等式 41 【题型十九】杨辉三角及组合数性质 45 【题型一】求二项展开式 1． . 2．若（，为有理数），则等于 ． 3．用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 4．求的二项展开式． 【题型二】二项展开式的应用 5．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得 ．(用组合数表示即可) 6．如果，则 . 7．关于二项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为 C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项 8．化简： ． 9．若，则 . 【题型三】二项展开式的特定项 10．二项式的展开式中的常数项为 . 11．的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）. 12．已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为 . 13．下列关于的展开式的说法中正确的是（    ） A．常数项为－160 B．第4项的系数最大 C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 14．求的展开式中第3项的系数和二项式系数． 【题型四】多项式与二项式乘积 15．的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．40 C．120 D．80 16．在的展开式中，各项系数的和为1，则（    ） A． B．展开式中的常数项为 C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为 17．已知实数不为零，则的展开式中项的系数为 . 【题型五】求指定项的二项式系数 18．若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 . 19．在 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. (1)求n的值. (2)求 的展开式中的常数项. (3)求展开式中所有系数的和. 【题型六】二项式系数的增减及最值 20．已知的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项． 21．（1）若，求的值； （2）在的展开式中， ①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项？ 【题型七】二项式系数和 22．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中项的系数（    ） A．15 B．54 C．12 D．-54 23．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32． (1)求的值； (2)求展开式中的系数． 24．已知在的展开式中，前项的系数分别为，，，且满足． (1)求展开式中各项的二项式系数的和； (2)求展开式中系数最大的项； (3)求展开式中所有有理项． 【题型八】特定项的系数 25．的展开式中的系数为（    ） A．55 B． C．65 D． 26．若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的项为 . 27．的展开式中的系数为 ． 28．已知．若，则 ． 29．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【题型九】有理项 30．在二项式的展开式中，系数为无理数的项的个数是 个. 31．已知的展开式中共有项，则有理项共 项．（用数字表示） 32．在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 【题型十】根据已知条件求未知参数 33．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（    ） A． B． C． D． 34．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（    ） A．6 B．8 C．28 D．56 35．已知的展开式中，的系数为80，则（    ） A． B． C． D．2 36．若，则的展开式中的系数的取值范围为（    ） A． B． C． D