专题24.15 圆章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题24.15 圆章末十大题型总结（培优篇） 【沪科版】 【题型1 巧用圆的半径相等】 1 【题型2 由点与圆的位置关系求求范围】 2 【题型3 弧、弦、角、之间的关系】 3 【题型4 垂径定理】 5 【题型5 圆周角定理】 6 【题型6 圆内接四边形】 7 【题型7 直线与圆的位置关系】 8 【题型8 切线长定理的运用】 10 【题型9 弧长的计算】 11 【题型10 扇形面积的计算】 12 【题型1 巧用圆的半径相等】 【方法点拨】解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键. 【例1】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，是的弦，为半径．，垂足为，，，则为（    ）度 A．60 B．65 C．70 D．75 【变式1-1】（2023秋·河北唐山·九年级统考期中）如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺时针旋转得到半圆，与交于点P，那么（    ） A．2.5 B．5 C． D． 【变式1-2】（2023秋·河北唐山·九年级唐山市第十二中学校考期末）如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·天津南开·九年级南开翔宇学校校考期末）如图， 的半径为 2， 为圆上一动弦，以 为边作正方形，求的最大值 ． 【题型2 由点与圆的位置关系求求范围】 【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外； 当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 【例2】（2011秋·江苏泰州·九年级统考期中）直角坐标系中，已知点，的半径是5，若点在外，则的范围是　　 A． B．或 C． D． 【变式2-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）在数轴上，点所表示的实数为3，点所表示的实数为，的半径为2，下列说法错误的是（    ） A．当时，点在内 B．当时，点在内 C．当时，点在外 D．当时，点在外 【变式2-2】（2023秋·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”． 已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）． (1)①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　 　； ②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围； (2)以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围． 【变式2-3】（2023秋·广东江门·九年级校考期末）如图，正方形中，，以B为圆心，为半径画圆，点P是上一个动点，连接，并将绕点A逆时针旋转至，连接，在点P移动的过程中，长度的取值范围是 ． 【题型3 弧、弦、角、之间的关系】 【方法点拨】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，其中圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 【例3】（2023秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB、DE为⊙O的直径，C是⊙O上一点，且=． （1）BE与CE有什么数量关系？为什么？ （2）若∠BOE=60°，则四边形OACE是什么特殊的四边形？请说明理由． 【变式3-2】（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式3-3】（2023秋·浙江杭州·九年级期末）已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F． （1）如图1，如果，求弦的长； （2）如图2，如果E为弦的中点，求 【题型4 垂径定理】 【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． 【例4】（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证． 【变式4-1】（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．      【变式4-2】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，的直径与弦交于点E，，求的长．