第13讲 正弦函数与图象变换-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第13讲 正弦函数与图象变换 【人教A版2019】 ·模块一 正弦函数的图象与性质 ·模块二 三角函数的图象变换 ·模块三 课后作业 模块一 正弦函数的图象与性质 1．正弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形 状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数的性质 正弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx 图象 定义域 R 值域 [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 【考点1 正弦函数的图象与性质】 【例1.1】（2023上·甘肃武威·高二校考阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（    ）    ①；②；③在上单调递减；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.2】（2023下·新疆塔城·高一校考期中）已知函数的图像关于直线对称，则（    ） A．函数为偶函数. B．若，则的最小值为. C．函数在上单调递增. D．当的值域是. 【考点2 正弦函数中的含参问题】 【例2.1】（2023上·江苏盐城·高三统考期中）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023上·山东济南·高三校考阶段练习）若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（    ） A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，] 【考点3 与三角函数相关的复合函数】 【例3.1】（2023下·辽宁·高一校联考期中）函数最大值为（    ） A．2 B．5 C．8 D．7 【例3.2】（2023下·安徽阜阳·高一校考阶段练习）已知函数的值域是，则实数的值等于（    ） A．2 B．-2 C． D． 【变式3.1】（2023·河南·校联考二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023上·黑龙江七台河·高三校考阶段练习）已知函数，结论正确的有（    ） A．不是周期函数 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．在区间上单调递增 模块二 三角函数的图象变换 1．, A对函数的图象的影响 (1)对的图象的影响 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时) 或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或 伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在