3.2.2 双曲线的几何性质（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2.2 双曲线的几何性质 一、双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 二、等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： 1、离心率：等轴双曲线的离心率为：； 2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为：； （2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°. 三、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 四、弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 题型一 由双曲线的方程研究几何性质 【例1】（2023·江苏·高二南京大学附属中学校考期末）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（ ） A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为 C．C的实轴长为2 D．C的右焦点到渐近线的距离为 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）下列有关双曲线与的说法正确的是（ ） A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 【变式1-2】（2023秋·山东枣庄·高二校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ） A． B．若的顶点坐标为，则 C．的焦点坐标为 D．若，则的渐近线方程为 【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（ ） A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程 题型二 由双曲线几何性质求标准方程 【例2】（2023·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·江西景德镇·高二统考期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·河南·高二校联考期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线方程是 . 【变式2-3】（2023·河北沧州·高二校联考期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4； （2）双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点. 题型三 与双曲线渐近线有关的问题 【例3】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·上海·高二校考期末）已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 . 【变式3-2】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 题型四 求双曲线离心率的值或范围 【例4】（2023·山东德州·高二统考期中）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（2023·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若