4.5.3函数模型及其应用第一课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

4.5.3 函数模型的应用 (第一课时) 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？ 二次函数，指数函数，对数函数，幂函数等等. 对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？ 复习 注意：建立相应函数模型后，求函数解析式多采用用待定系数法. 一次函数模型： y=kx+b (k≠0) 二次函数模型： y=ax2+bx+c (a≠0) 指数函数模型： 对数函数模型： 幂函数模型： 分段函数模型： y=max+n(m≠0,a>0且a≠1) y=mlogax+n(m≠0,a>0且a≠1) y=bxa+c (b≠0,a≠1) 这种模型是上述两种或多种模型的综合。 常见的数学函数模型 引例.某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日均销量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 分析： ①销售单价每增加1元，日均销售量就减少多少桶？ ②销售利润由哪些因素决定？怎样计算较好？ ③为了建立数学函数模型，需要做哪些准备工作？ ④实际问题的解题书写应注意什么？试着解决问题并写出具体解题过程。 应用 解1:设在进价基础上增加x元后，日均利润为y元, 则日均销售量为 桶 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润 解2:设每桶水定价为x元时，日销售利润为y元, 则日均销售量为 桶 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润 解决实际应用问题的一般步骤： ①审题：弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③解模：求解数学模型,得出数学结论; ④还原：将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题． 7 例3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据. 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. (1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型.（温馨提示：已知由e9r≈1.2167可得r≈0.021876） 要确定其中的初始量y0和年平均增长率r. ①人口增长模型： y=y0ert；（ t是自变量，y是因变量） ②t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年 平均增长率； ③1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万； ④已知e9r≈1.2167可得r≈0.021876 分析: 认真审题,知道些什么条件？要求解什么？ 已知 所求 请同学们尝试解决! 追问：同学们，既然理论模型已经求出，那么你认为下面咱们要验证什么呢？ (2)利用(1)中的模型计算1951 ～ 1958年，各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. 解：(1) 由题意知y0=55196， 设1951 ～ 1959年期间人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有 67207=55196e9r 由计算工具可得 r ≈0.021876. 因此我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型为 y=55196e0.021876t，t∈[0，9]. 验证是否符合实际的人口数据。 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 　　(2)分别取t=1，2， … ，8，由y0=55