26.2.3求二次函数的解析式的常用方法讲义2023-2024学年华东师大版九年级数学下册

求二次函数的解析式的常用方法 一、知识要点： （一）用待定系数法求二次函数的解析式： 1.用待定系数法求二次函数的解析式的方法及适用条件： （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，通常选择顶点式. （3）交点式：.已知图像与轴的交点坐标、，通常选择交点式. 特别地，若抛物线与轴有两个交点、时，则交点式（）的性质如下: 根据抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，故其对称轴为直线，顶点坐标可由对称轴的值代入函数求得． 2.用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤： ①设：根据条件设函数关系式； ②列：把已知点的坐标代入关系式，得到方程或方程组； ③解：解方程或方程组，求出未知系数； ④答：写出函数关系式，注意最后结果一般要化成一般式． （二）由图象变换求二次函数的解析式： 二、题型： （一）利用待定系数法求二次函数的解析式： （Ⅰ）设一般式求二次函数的解析式 1．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小． 2．如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； 3．如图，抛物线过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （Ⅱ）设顶点式求二次函数的解析式 1．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求m的值． 2. 已知抛物线顶点坐标为，且过点． (1)求其解析式； (2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点． 3．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （Ⅲ）设交点式求二次函数的解析式 1．已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式。 2. 已知一个抛物线经过点，和． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 3．已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该二次函数上． ①当时，求的值； ②当时，的最小值为，求的取值范围． （二）利用平移变换求二次函数的解析式： 1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是______． 3．将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A． B． C． D． 4．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 5.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 求二次函数的解析式的常用方法 一、知识要点： （一）用待定系数法求二次函数的解析式： 1.用待定系数法求二次函数的解析式的方法及适用条件： （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，通常选择顶点式. （3）交点式：.已知图像与轴的交点坐标、，通常选择交点式. 特别地，若抛物线与轴有两个交点、时，则交点式（）的性质如下: 根据抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，故其对称轴为直线，顶点坐标可由对称轴的值代入函数求得． 2.用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤： ①设：根据条件设函数关系式； ②列：把已知点的坐标代入关系式，得到方程或方程组； ③解：解方程或方程组，求出未知系数； ④答：写出函数关系式，注意最后结果一般要化成一般式． （二）由图象变换求二次函数的解析式： 二、题型： （一）利用待定系数法求二次函数的解析式： （Ⅰ）设一般式求二次函数的解析式 1．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小． 【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）与对称轴的交点即为点D，此时的周长最小． 解：（1）设二次函数的解析式为，将A、B、C三点代入， 得，解得：，， ∴抛物线的解析式为：； （2）抛物线的对称轴为， 如图，