3.1圆的对称性（1） 导学案 2023—2024学年青岛版数学九年级上册

§3.1圆的对称性（1） 编制人：陈凯祥 钱先华 宋天义 审核人：陈凯祥 学案编号：20 使用时间： 班级 姓名 3.1 圆的对称性（1） 【学习目标】 1.探索圆的轴对称性性质 2.探索并证明垂径定理，掌握垂径定理，会用垂径定理解决有关问题 【学习重点】垂径定理的应用 【学习难点】垂径定理的应用 【学习过程】 1、 复习引入 你还记得什么是圆吗？你学过圆的哪些知识？ 2、 新知探究 探究一：在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O，再任意作出一条直径AB，将⊙O沿直径AB折叠。 1.你发现了什么？ 2.再任意作一条直径，重复（1）中的操作，还有同样的结论吗？ 知识点：圆的轴对称性 圆是轴对称图形， 都是它的对称轴。 【跟踪练习】 下列说法中，不正确的是　　 A．圆是轴对称图形 B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C．圆的任一直径都是圆的对称轴 D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 探究二：如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点 E。 （1） 将⊙O沿直径AB折叠，你发现线段CE与DE有什么关系？与有什么关系？与 有什么关系？ （2） 如何证明你的结论？以小组为单位进行讨论 知识点：垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 几何语言： ∵AB⊥CD ∴CE=DE，=，= 注意： ①垂径可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其本质是过圆心； ②平分两条弧指的是平分弦所对的优弧和劣弧； ③垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，也是圆的计算的重要依据。 弦长a，弦心距d，半径r，弓高h的关系： ；r=d+h 【跟踪练习】下列命题中，正确的是　　 A．平分弦的直线必垂直于这条弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧 3、 典型例题 例1. 如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C，D，且AC= BD。求证：OA = OB 例2.1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度AB（弧所对的弦长）为 37.02 m，拱高CD（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.23 m。求桥拱所在圆的半径（精确到 0.1 m）。 4、 课堂小结 本节课你有什么收获? 5、 当堂检测 1.如图，AB是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点M，求证：∠ACD =∠ADC。 2.如图，⊙O是水平放置的输油管道的横截面，其直径为 650 mm，油面的宽度AB = 600 mm。求油的最大深度。 6、 课后分层作业 【基础闯关】 1．如图，已知的直径于点，则下列结论不一定成立的是　　 A． B． C． D． 2．如图，，是的弦，，，垂足分别为，．如果，那么　　 A．3.5 B．7 C．10.5 D．9 3．在中，为其内一点，过点的最长弦的长为，最短的弦的长为，则的长为　　 A． B． C． D． 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　 A．1米 B．米 C．3米 D．米 第3题 第4题 第6题 5．如图，是的直径，弦于点，，，则的半径　　． 【能力提升】 6．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是　　 A． B． C． D． 7．如图，某古城大门口的平面图上方是半圆，下方是矩形，有一辆装货后宽3米的货车从大门中间进入古城，那么货车装货后的最大高度为 　　米． 8．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为　 　． 9．数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度； （参考数据：，，， 根据以上信息，北纬纬线的长度约为 　　千米． 第9题 第10题 第11题 10．如图，的半径为，弦，，，圆心位于，的上方，求和的距离． 【培优创新】 11．已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，（如图）． （1）求证：； （2）若大圆的半