精品解析：湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二下学期寒假作业检测（入学考试）数学试题

2022年高二年级寒假作业检测（入学考试） 数 学 得分： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分. 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则复数的共轭复数的模为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 3. 已知数列的前项合为，且，则（ ） A B. C. D. 4. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 5. 如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 6. 已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（ ） A π B. π C. 4π D. π 7. 已知函数，若实数满足且，则的取值范围为（ ） A. （6，16） B. （6，18） C. （8，16） D. （8，18） 8. 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是 A. 若为椭圆,则 B. 若为双曲线,则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则 10. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件为“”，事件为“为奇数”，事件为“”，则下列结论正确的是（ ） A 与互斥 B. 与对立 C. D. 与相互独立 11. 如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 平面截四棱锥所得上，下两部分几何体的体积之比为 12. 数列中，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 第 Ⅱ 卷 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________． 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于__________ 15. 在平面直角坐标系中，双曲线的上支与焦点为的抛物线交于两点．若，则该双曲线的渐近线方程为___． 16. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则_________，的取值范围是__________． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图. (1)求图中实数的值； (2)若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的概率. 18. 已知数列为首项为，公差为4的等差数列，数列满足:对任意的，都有. （1）求数列，的通项公式； （2）将数列，中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的通项公式以及数列的前项和. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 20. 如图所示，在四棱锥中，侧面⊥底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知圆O：，点M是圆O上任意一点，M在x轴上的射影为N，点P满足，记点P的轨迹为E. （1）求曲线E的方程； （2）已知，过F的