2023年鲁教版（五四制）九年级数学一轮复习专题—— 圆的切线判定的常见模型(圆专题）课件

圆的切线判定的常见模型(圆专题） 九年级 数学 一切为了孩子 切线的判定方法 (1) “作垂直，证半径”：若未给出直线与圆的公共点，（公共点未标注字母）则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径．在判定时，必须说明“是半径”或“点在圆上”，这是最容易忽略的地方． (2)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，(公共点标注了字母）则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直． 温馨提示： 一切为了孩子 例题1：如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D． （1）求证：AB是半圆O所在圆的切线； （2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径． 模型一：切点不明确，作垂直，证半径 一切为了孩子 （1）证明：如图，过点O作OE⊥AB于E，连接OD，OA， ∵AB=AC，点O是BC的中点， ∴∠CAO=∠BAO， ∵AC与半圆O相切于D， ∴OD⊥AC， 又∵OE⊥AB， ∴OE = OD， ∴OE是半径 ∴AB是半圆O所在圆的切线； 一切为了孩子 （2）解：∵AB=AC，O是BC的中点， ∴AO⊥BC， 在Rt△AOB中，OB=AB•cos∠ABC=12×=8 根据勾股定理得，OA===4 由三角形的面积得S△AOB=AB•OE OA•OB ∴OE ∴半圆O所在圆的半径为 S△AOB= 一切为了孩子 例题2：如图，C是⊙O上一点， 点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径 为3，PB=2，PC=4． （1）求证：PC是⊙O的切线． 类型一 模型二：切点明确，连半径，证垂直 一切为了孩子 例题2：如图，C是⊙O上一点， 点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径 为3，PB=2，PC=4． （2）求tan∠CAB的值． 类型一 模型二：切点明确，连半径，证垂直 一切为了孩子 （1）证明：如图，连接OC ∵⊙O的半径为3，PB=2 ∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5 又∵PC=4∴OC2+PC2= 32+42=52=OP2 ∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线． 一切为了孩子 （2）解：连接BC， ∵AB是直径∴∠ACB=90° ∵ PB=2，PC=4， OA=OB=3 ∴在△PBC和△PCA中 == == 又∵∠P=∠P ∴△PBC∽△PCA ∴ ∴ tan∠CAB= 一切为了孩子 例题3. 如图，△ABC内接于⊙O ，AB是⊙O的直径， AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF=CD，连接AF． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由； 类型二 一切为了孩子 例题3. 如图，△ABC内接于⊙O ，AB是⊙O的直径， AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF=CD，连接AF． （2）若AC＝10，求tan∠CAE=，求 AE的长． 一切为了孩子 （1）证明： ∵AB是直径∴∠ACB=90° ∴∠B+∠BAC=90°AC⊥DF 又∵ CF=CD ∴ AF=AD ∴ ∠FAC = ∠DAC ∵ AC＝CE ∴= ∴ ∠B=∠DAC ∴∠B=∠ FAC ∴∠FAC+∠BAC=90° ∴∠BAF=90° ∴FA⊥BA ∴AF与⊙O 相切. （2）解： 连接OC交AD于点G， ∵= ∴ OC⊥EA AE＝2AG 在Rt△ACG中∵ tan∠CAE= 设=3k，则AG=4K，由勾股定理得 CG2+AG2= AC2 ∴（3k）2+（4k）2=102 解得k=2 ∴ AG=4K=8 ∴ AE＝2AG ＝16 G 一切为了孩子 例题4.如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD， AC，BD，AC与BD交于点M. (1)求证：CD为⊙O的切线； 类型三 一切为了孩子 拓展：如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD， AC，BD，AC与BD交于点M. (2)若CD＝ AD，求 的值． 一切为了孩子 (1)证明：如图，连接OD. ∵CB⊥AB ∴∠OBC＝90° ∵OD＝OA， ∴∠DAO＝∠ADO. ∵AD∥OC， ∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠COB， ∴∠DOC＝∠BOC. 在△DOC和△BOC中， ∴△DOC≌△BOC， ∴∠ODC＝∠OBC=90. ∵OD⊥DC， ∴CD为⊙O的切线． 一切为了孩子 15 (2)解：如图，设OC与BD相交于点H，设AD＝a，则BC＝DC＝a， ∵ AD∥OC∴ ∠ADB=∠OHB ∠DAB=∠HOB ∴