12.3　角的平分线的性质第2课时　角平分线的判定教案2023-2024学年 人教版数学八年级上册

12.3　角的平分线的性质 第2课时　角平分线的判定 教学目标： 1.探究并证明角平分线的判定方法. 2.会用角的平分线的判定解决实际问题. 3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用. 教学重难点： 重点:角平分线的判定. 难点:三角形的内角平分线的应用. 教学过程： 课堂导入 我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们来对这个问题进行探究. 讲授新课 知识点1　角平分线的判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论.下面我们证明这个命题的正确性. 已知:如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB). 证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知), 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中, 所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL). 所以∠POD=∠POE. 即点P在∠AOB的平分线上. [归纳]角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 注意:(1)使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部; (2)角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法. 几何语言: 如图所示,因为点P是∠AOB内的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, 所以点P在∠AOB的平分线OC上. 范例应用 例1　如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000)? 解:因为=, 所以图上距离=0.025 m=2.5 cm. 如图所示,P点即为所求. 理由:P点在这个交叉口的角平分线上,所以P点到公路与铁路的距离相等. 知识点2　角的平分线的性质定理与判定定理的关系 点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等. 正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据. 知识点3　三角形三个内角平分线的性质 1.如图所示,三角形的三个内角的角平分线已画出,从位置上你能观察出什么结论? 答案:三角形三个内角的平分线的交点位于三角形的内部. 2.如图所示,过交点分别作三角形三边的垂线,根据角平分线的性质定理你能得出什么结论? 答案:过交点作的三角形三边的垂线段相等. 范例应用 例2　如图所示,△ABC的角平分线AD,BE,CF相交于点P.求证:点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等. 证明:如图所示,过点P作PM⊥BC,PN⊥AC,PO⊥AB,垂足分别为M,N,O. 因为AD为△ABC的角平分线,所以PN=PO. 因为BE为△ABC的角平分线,所以PM=PO. 因为CF为△ABC的角平分线,所以PM=PN. 所以PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等. 课堂训练 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.判断题: (1)如图(1)所示,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.(×) (2)如图(2)所示,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.(×) 2.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 第2题图 第3题图 3.如图所示,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=　125°　.  4.如图所示,点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点.求证:AP平分∠BAC. 证明: 如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N. 因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上, 所以PM=PQ,PN=PQ. 所以PM=PN. 又PM⊥AE,PN⊥AF, 所以AP平分∠BAC. 课堂小结 1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个,且一定在三角形的内部. 2.证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点也在第三条直线上. 3.在三角形内部,要找一点到三边距离相等时,只要作出两个角的平分线,其交点即是. 4.角平分线的判定与性质的关系:由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的,即在三角形内,到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 板书设计 第2课时　角平分线的判定 教学反思 本课时教学应重视以下几点: (1)由定理得到它的逆命题,并证明它的正确性,把两个定理正确地运用; (2)尽力体现数