精品解析：上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

上师大附中2023学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题： 1. 双曲线焦点坐标为__________. 2. 若双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________. 3. 椭圆的长轴长为______． 4. 与椭圆有相同的焦点且以为渐近线的双曲线方程________． 5. 双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝__________. 6. 如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为__________. 7. 已知圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________． 8. 已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是____________ 9. 已知双曲线与双曲线号（其中，），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为，连接它们的焦点构成的四边形的面积为，则的最大值为______． 10. 已知实数满足，，，则的最大值是______. 11. 点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是__________. 12. 已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为. ① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值； ② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值； ③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值； ④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值. 其中正确命题是_______________.（填出所有正确命题的序号） 二、选择题： 13. “”是“方程表示双曲线”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知是平面内两个定点， 且 |AB| = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ） A. 到两点距离相等的点的轨迹是直线 B. 到两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆 C. 到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆 D. 到两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线 15. 若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ） A. B. C. D. 16. 如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 三、解答题： 17. （1）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程及两条渐近线的夹角； （2）若双曲线中心在原点，一条渐近线方程为，实轴长为8，求双曲线方程. 18. 试讨论方程所表示的曲线. 19. 已知双曲线，四点中恰有三点在C上． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点． 20 已知圆圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两圆都外切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）若过点的直线与（1）中所求轨迹有两个交点，求的取值范围． 21. 双曲线：上一点到左，右两焦点距离的差为． （1）求双曲线的方程； （2）设，是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若， 求面积； （3）过作直线交双曲线于，两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上师大附中2023学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题： 1. 双曲线焦点坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出焦点坐标即得. 【详解】双曲线化为，因此双曲线半焦距， 所以双曲线焦点坐标为. 故答案为： 2. 若双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出实数的值，化简可得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则设所求双曲线的方程为， 点的坐标代入双曲线的方程，则有，即双曲线的方程为， 因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 3. 椭圆的长轴长为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程改写为椭圆的标准方程，利用椭圆的性质即可. 【详解】依题意是椭圆方