5.3函数的单调性课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第5章 函数概念与性质 数学 (SJ) · 高中·必修一 5 . 3 函数的单调性 在 5.1节开头的第三个问题中，气温是关于时间 t 的函数，记为＝f(t).观察这个气温变化图(如图 5-3-1)，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的，在哪些时段内是逐渐下降的. 课本 第 页 110 5 . 3 函数的单调性 ● 怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征? 课本 第 页 110 5 . 3 函数的单调性 由图可知，从4时到14 时这一时间段内，图象是上升趋势，气温逐渐升高. 课本 第 页 110 5 . 3 函数的单调性 对于这段图象上的任意两点 P(t1，1)，Q(t2，2)，当t1＜ t2时，都有1＜2 . 类似地，对于区间(14，24)内任意两个值t1，t2，当t1＜t2 时，都有1 ＞2 . 课本 第 页 110 5 . 3 函数的单调性 一、函数的单调性 函数 增函数 减函数 图示 (1) 定义 课本 第 页 110 5 . 3 函数的单调性 函数 增函数 减函数 条件 设函数 y＝f(x) 的定义域为A，区间 I ⊆A.如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时, 都有___________ 都有___________ 结论 (1)y＝f(x)在区间I上是___________ (2)I称为y＝f(x)的增区间 (1)y＝f(x)在区间I上是____________ (2)I称为y＝f(x)的减区间 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 增函数 减函数 课本 第 页 110 5 . 3 函数的单调性 (2)本质： 函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律，定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质. (3)应用：证明函数的单调性、比较大小、解不等式、 求参数范围等. 5 . 3 函数的单调性 【思考】 函数单调性的定义中，能否将“任意”改为“存在”? 提示：不能， 一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性. 5 . 3 函数的单调性 二、单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x) 在区间 I 上是增函数或减函数，那么称函数 y＝f(x) 在区间 I 上具有单调性. 增区间和减区间统称为单调区间. 课本 第 页 111 5 . 3 函数的单调性 【思考】 函数 y＝f(x) 在定义域内的每一个区间 D1，D2，…上都单调递减，那么函数在定义域上是减函数吗?你能举例说明吗? 提示：不是.如函数 y＝ 在(－∞，0)，(0， ＋∞)上都单调递减，但在定义域上不具有单调性. 5 . 3 函数的单调性 例 1 画出下列函数图象，并写出单调区间： (1) y＝－x2＋2； 解：函数图象如图， 增区间为(－∞ ，0]， 减区间为[0，＋∞). 课本 第 页 111 5 . 3 函数的单调性 (2) y＝ (x≠0). 解：函数图象如图， (－∞，0)和(0，＋∞) 是两个减区间. 课本 第 页 111 5 . 3 函数的单调性 例 2 证明： 函数 f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数. 证明 设 x1，x2 为区间(－∞，0)上的任意两个值， 且 x1＜x2，则 x1－x2＜0，x1x2＞0. 因为 f(x1)－f(x2) ＝(－－1)－(－－1) ＝ － ＝. 课本 第 页 111 5 . 3 函数的单调性 所以 f(x1) － f(x2) ＜ 0， 即 f(x1) ＜ f(x2). 故 f(x)＝－－1在区间(－∞ ，0) 上是增函数. 记 y2－y1＝∆y，x2－x1＝∆x，那么函数的单调性与 的符号有什么关系? 课本 第 页 112 5 . 3 函数的单调性 【基础小测】 1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 函数f(x)＝x2，因为－1＜2，且f(－1)＜f(2)，则函数 是增函数. (　　) (2) 函数f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数. (　 ) (3) 函数f(x)在某一区间D上要么是增函数要么是减函数. (　　) ✘ ✘