5.1.2 弧度制 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.2弧度制学案 重点和难点: 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化；掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 1、 复习 1.角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 ． 2. 角可以分为 、 和 ． 3.象限角的定义： 。 4.与终边相同的角的集合 。 5. (1)锐角、0°90°的角、小于90°的角及第一象限角的区别 角 集合表示 锐角 0°～90°的角 小于90°的角 第一象限角 (2)象限角的集合表示 角的终边所在象限 集合表示 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 (3)轴线角的集合表示 角α的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴 坐标轴 二．新课讲解 1. 上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？ 　 ，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值．为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制． 2. (1)规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)弧度数的计算 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为 rad， 那么||＝. (3)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 注意点：一定大小的圆心角所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 3.(1)下列各命题中，真命题是(　　) A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 (2)下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 4. (1)根据公式||＝.，你能得出圆周角的弧度数吗？ 提示　因为半径为的圆的周长为，故圆周角的弧度数为＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系． (2)角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 注意点：①弧度单位rad可以省略；②在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 5.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. 6.（1）常用特殊值的弧度数 （2）角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应. 7.（1）角度制与弧度制在进制上有何区别？ （2）弧度数与角度数之间有何等量关系？ 8. 按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值． 9. 将3.14rad换算成角度 （用度数表示，精确到0.001）． 10.(1)我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 初中我们已学习过，圆心角为°的扇形的弧长公式和面积公式分别为， S＝，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道＝. (2)设扇形的半径为，弧长为，(02π)为其圆心角，则 ①弧长公式：＝R. ②扇形面积公式：S＝R＝. 11.已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积． 12.(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数． (2)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 三、课后练习 1. 把下列角度化成弧度： (1)22°30′ (2) -210° (3) 1200° ２．把下列弧度化成角度： (1) (2)