3.1 椭圆 同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1椭圆 练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点、在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为，则椭圆的方程为（    ）． A． B． C． D． 2．已知椭圆的右顶点为A，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 5．已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．2022年6月，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载火箭，成功发射一颗试验卫星.该卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是，则该卫星运行轨道（椭圆）的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：（），O为坐标原点，A､B､C是椭圆上三个点，满足且的面积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线：，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点的轨迹到直线距离的最大值为 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（    ） A．实数a越小，椭圆C越圆 B．若，且，则 C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D．若，则 11．已知P是椭圆：上的动点，过直线与椭圆交于两点，则（    ） A．的焦距为 B．当为中点时，直线的斜率为 C．的离心率为 D．若，则的面积为1 12．设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（    ） A． B．的最大值为7，最小值为1 C．的最大值为16 D．△面积的最大值为10 三、填空题 13．若方程表示椭圆，则的取值范围是 ． 14．已知椭圆M：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为 ． ①；②；③；④． 15．椭圆的焦距为 . 16．已知椭圆的左、右焦点为，，点关于直线的对称点P仍在椭圆上，则的周长为 ． 四、解答题 17．已知椭圆 的一个焦点为，椭圆与y轴的一个交点的坐标为． (1)求椭圆方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点(点A在点B左侧)，点A关于轴的对称点为，求面积的最大值． 18．已知椭圆的左右焦点分别是和，离心率为，点P在椭圆E上，且的面积的最大值为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l过椭圆C右焦点，交该椭圆于A､B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于P，记的面积为，的面积为，若，求直线l的方程. 19．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围． 20．已知椭圆：过点与点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在，两点关于直线对称，为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值. 21．已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为8. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值． 22．已知为椭圆的右焦点，为右顶点，为上顶点，离心率为，直线与相切于点，与轴相交于点（异于点），（为坐标原点），且的面积为. (1)求； (2)求的方程. 参考答案： 1．D 【分析】利用椭圆的定义可求得的值，结合椭圆的离心率公式可求得的值，进而可求得的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，的周长为，， 又因为椭圆的离心率为，可得，， 又因为椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的方程为. 故选：D. 2．A 【分析】根据题意结合椭圆方程整理得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：， 设，则，可得， 则， 又因为点在椭圆上，则，整理得， 可得，即， 所以C的离心率. 故选：A.