专题一 正比例函数与一次函数 讲义 -2023-2024学年高一上学期物理初升高衔接

专题一 正比例函数与一次函数 一．正比例函数 1.一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数（k为常数，且k≠0），那么y=kx就叫做正比例函数。 2.当k>0时,函数值y随着自变量x的增大而增大；当K<0时,自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。 3.正比例函数的图像是经过坐标原点一条直线，当k的绝对值越大，直线越“陡”；当k的绝对值越小，直线越“平”。 说明： ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。 ②用字母表示： ③正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的，即y=kx(k为常数，k>0)，此时的y与x同时扩大，同时缩小，比值不变。例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间成正比例。对于一个定值电阻，通过的电流与其两端的所加的电压成正比；压强一定时，压力与接触面积成正比……以上各种商都是一定的，那么被除数和除数所表示的两种相关联的量成正比例关系。 ④如果两个量成正比关系，那么它们的变化量的比值必为一定值。在物理学中，有很多物理量就是这样定义出来的。叫做比值下定义法。 二．一次函数 1.一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。 2.一次函数的性质 y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即： 当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为(0,b)。当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 当b=0时(即 y=kx)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 ④ 函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 三．直线的斜率、纵横轴的截距 直线的斜率表示一条直线关于横坐标轴倾斜程度的量。它通常用直线与横坐标轴夹角的正切来表示。一次函数y=kx+b中的k和正比例函数y=kx中的k都是斜率。 直线与横轴交点的横坐标叫横轴的截距。直线与纵轴交点的纵坐标叫纵轴截距。正比例函数y=kx由于过原点，所以纵横截距均为0。一次函数y=kx+b 纵轴截距为b，横轴截距为-b/k。在物理学中，直线的斜率与纵横轴的截距都是有相应的物理意义的。所以，对物理图象要特别注意。 特别的是：对于曲线，每个点的倾斜程度不同。这时对应每一个点都要做出切线，根据每个点的切线可以直观看出倾斜程度的变化。若斜率变大，说明切线越倾斜。也就是自变量变化得越快。 特别注意：数学中的斜率与物理图象的斜率有着很大区别 1. 数学中的斜率没有单位，斜率的正负表示大小。物理中图象的斜率一般都有物理意义，即一般都有对应的单位。大多数情况下斜率的正负不能用来表示大小。我们一般只比较斜率的绝对值。 2. 数学中的斜率可以用直线与x轴的夹角的正切值来求，但物理图象中由于纵横轴表示不同的物理量，夹角的正切只有象征意义。如有一条直线与x轴的夹角为45度，在数学中斜率是1，但物理中的斜率却不一定是1,可能是10，也可能是5，也可能是其它值 4. 物理中的一次函数与正比例函数 物理概念和规律往往有三种表达形式，即文字描述、公式表示（即数学表达式）、图象描述。而图象描述更具有形象、直观、简明等特点，这也是其生命力之所在。中学物理中的概念、规律，其物理量之间的关系一大半具有一次函数的特征，通过赋予数学变量X、Y以不同的物理意义，即可直观地反映出许多物理量之间的关系及其规律。 下面我们分别以匀速直线运动和电学中的欧姆定律为例说明。 1.匀速直线运动：s=vt 横轴表示时间，纵轴表示位移（高中物理课程用位移这个概念替代路程） 位移与路程的区别： 位移：表示物体运动的位置变化的大小和方向。路程表示运动的轨迹长度。 在物理中物体的位移可以用一条有向线段来表示。线段的长短表示位移的大小，线段的方向表示位移的方向。物体运动的位移可以由初位置指向末位置的有向线段来表示。 象这种既有大小又有方向才能确定的物理量叫矢量，数学中叫向量，意思一样。 位移 路程 区别 定义 物体在空间位置变化的大小和方向 物体运动轨迹的长度 物理意义 一条有向线段表示质点的位置变化情况 表示质点运动实际经过的路径长度 方向性 （1）矢量，有大小也有方向（2）由初位置指向末位置的有向线段，位移取决于初末位置与实际路径无关（3）位移的运算遵从平行四边形定则 （1）标量，只有大小没有方向（2）实际经过的路径长度，路程与初末位置和路径都有关系（3）运算遵从代数运算法则 联系 （1）两者单位相同（2）都是描述质点运动的物理量