第2章 2.3 垂径定理（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（湘教版）

第 2 章 圆 第 2 章 圆 2.3 垂径定理 1 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂径定理，并能应用垂径定理解决有关问题.（重点、难点） 新课引入 在下图的⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O 的直径，且CD⊥AB， 垂足为E. 试问： AE与BE， 与 ， 与 分别相等吗？ 知识讲解 合作探究 因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折， 如下图，我发现AE与BE重合， ， 分别与 重合，即AE= BE， = ， = 从而∠AOC =∠BOC. 下面我们来证明这个结论. 在下图中， 连接OA，OB. ∵ OA=OB， ∴ △OAB是等腰三角形. ∵ OE⊥AB， ∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD. = = ∴ 知识讲解 ●O A B C D M└ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC = BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： 一、垂径定理 知识讲解 判断下列图形，能否使用垂径定理？ O C D B A 注意：定理中的两个条件缺一不可 × × √ B O C D A O C D E 练一练 知识讲解 二、垂径定理的逆定理（拓展） 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 合作探究 ●O C D ●M A B 知识讲解 ③CD⊥AB, ●O C D 由 ① CD是直径 ② AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ●M A B 平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 解: 知识讲解 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 思考 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？ O C D B A 知识讲解 随堂训练 1.如图所示，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长. 解：连接OA. 设OA=rcm，则OE=r-2（cm）. ∵ CD⊥AB， 由垂径定理得 =4（cm）. 在Rt△AEO中，由勾股定理得 解得 r=5. ∴ CD = 2r = 10 （cm）. 即 随堂训练 2.证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知： 如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行. 求证： = 证明：作直径EF⊥AB， ∴ 又 AB∥CD，EF⊥AB， ∴ EF⊥CD. ∴ 因此 即 随堂训练 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 14 14 $$