第二十七章 27.2.3 相似三角形应用举例（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（人教版）

第 二十七章 相 似 第二十七章 相 似 27.2.3　相似三角形应用举例 1 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力. (难点) 学 习 目 标 1 2 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量 的物体的高度和宽度. (重点) 复习引入 新课导入 1. 相似三角形的判定方法有哪几种？ （1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似； （2）判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ； （3）判定定理2：三边成比例的两个三角形相似； （4）判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （5）判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似； （6）直角三角形相似的判定方法：一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似. 新课导入 2. 相似三角形的性质有哪些？ （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应线段的比等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比. （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 新课导入 情景一 世界上最高的树——红杉，你能测量它的高度吗？ 新课导入 情景二 神秘的埃及金字塔，你能测量它的高度吗？ 新课导入 情景三 世界上最宽的河——亚马逊河，你能测量它的高度吗？ 新课导入 知识讲解 ★ 利用相似三角形测量物体的高度 据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ ， ∴ 因此金字塔的高度为134 m. 知识讲解 归纳： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 知识讲解 例2 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，求建筑物的高度． 知识讲解 解：设高为米，根据题意易得△CDG∽△ABG， ∴ .∵CD=DG=2，∴BG=AB=x， 再由△EFH∽△ABH可得 ，即 ，∴BH=2x，即BD+DF+FH=2x，即x－2+52+4=2x， 解得x=54. 答：建筑物的高度为54米. 知识讲解 归纳： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 知识讲解 例3 如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD,测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，求该古城墙的高度． 解：由入射角等于反射角，可得∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴ ， 又∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，∴ ， 解得CD=8， 答：该古城墙的高度为8米. 知识讲解 归纳： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 知识讲解 ★ 利用相似三角形测量物体的宽度 例4 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 60m 50m 120m 知识讲解 解：∵ ∠ADB＝∠EDC，   ∠ABC＝∠ECD＝90°，   ∴ △ABD∽△ECD.   ∴ ，即 ， 解得 AB = 100. 因此，两岸间的大致距离为 100 m. 知识讲解 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 归纳： 知识讲解 随堂训练 1.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点