第二十七章 27.2.2 相似三角形的性质（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（人教版）

第 二十七章 相 似 第二十七章 相 似 27.2.2　相似三角形的性质 1 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点) 学 习 目 标 1 2 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点) 复习引入 新课导入 1. 相似三角形的判定方法有哪几种？ （1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似； （2）判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ； （3）判定定理2：三边成比例的两个三角形相似； （4）判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （5）判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似； （6）直角三角形相似的判定方法：一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似. 新课导入 2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素? 如果两个三角形相似，那 么，对应的这些要素 有什么关系呢？ 高， 中线， 角平分线， 周长， 面积. 新课导入 知识讲解 ★ 相似三角形对应线段的比等于相似比 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？ A B C A' B' C' 探究 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∴△ABD ∽△A' B' D' . A B C D A' B' C' D' ∴ 知识讲解 如果△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比等于相似比，那么它们对应中线、对应角平分线的比又是多少？ ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， ∴△ABE ∽△A' B' E' . ∴ 解：如图， AE， A‘ E’分别为两个三角形的对应角的平分线，则∠BAE ＝ ∠B′ A′ E′ . A B C D E F A' B' C' D' E' F' 同理可得 知识讲解 由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳： 相似三角形对应中线的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 知识讲解 例1 解：∵ △ABC∽△DEF， 　 解得EH＝3.2(cm). 即EH的长为3.2cm. A G B C D E F H （相似三角形对应角平线的比等于相似比）， 已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为△ABC和△DEF的角平分线，BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长. 知识讲解 ★ 相似三角形周长的比等于相似比 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比是多少？ A B C A' B' C' 探究 知识讲解 因为 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而 知识讲解 归纳： 由此我们可以得到： 相似三角形周长的比等于相似比. 知识讲解 已知△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，A′B′＝20，则△A′B′C′的周长为 ． 例2 解析：在Rt△ABC中，斜边AB＝＝10， ∴△ABC的周长＝6＋8＋10＝24． 又∵∠C＝∠C′ ＝90°，∠A＝∠A ′，∴△ABC∽△A′B′C′． ∵两个相似三角形的周长比等于它们的相似比， ∴△A′B′C′的周长＝2×△ABC的周长＝48． ∴ 答案：48 知识讲解 ★ 相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应面积的比是多少？ A B C A' B' C' 探究 知识讲解 由前面的结论，我们有 A B C A' B' C' D' D 知识讲解 例3 如图所示，正方形DEFM 内接于△ ABC，若＝ 1，＝ 4，求. 解：过点A 作AQ ⊥ BC 交BC 于点Q，交DE 于点P. ∵ 四边形DEFM 是正方形， ∴ DE ∥ BC，DE ＝ PQ， ∴ AP ⊥ DE，即AP 是△ ADE 的高. ∵ ＝ 4，∴ DE ＝ 2. ∵ ＝ 1，∴ AP·DE ＝ 1. ∴ AP ＝ 1，∴ AQ ＝ AP+PQ ＝ 3. ∵ DE ∥ BC，∴ △ ADE ∽△ ABC， ∴ ，∴ 13＝ BC 2 ， ∴ BC ＝ 6. ∴ ＝ BC·AQ ＝ 12 ×6×3 ＝ 9. 知识讲解 随堂训练 1.如图，在△ABC中，若DE ∥BC，＝12，DE＝4cm，则BC的长为（ ）