第27章 27.1.3 圆周角（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（华东师大版）

第 27 章 圆 27.1 圆的认识 3. 圆周角 1 学习目标 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推 论解决简单的几何问题.（重点） 3.理解圆内接四边形及其性质.（重点） 4.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的 关系”.（难点） 新课导入 问题：指出图中的圆心角，你知道∠BAC是什么角吗？ A B C O 1.圆周角 知识讲解 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） A B C O 顶点在圆内 顶点在圆外 圆周角 圆心角 · C O A B C O B C A B A B C O A B C O B A A 想一想：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） C （4） 边AC没有与圆相交 圆周角 O 知识讲解 思考 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、Ｂ外） 那 么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？ 证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形， 所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又因为∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°， 即：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）. 知识讲解 解： 例1　如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°． 求∠ABC的度数． ∵AB是⊙O的直径， ∴ ∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角). ∴ ∠ABC＝90°－∠A 　　　＝90°－80°＝10°. 知识讲解 2.圆周角定理及其推论 想一想：1.图中圆心角∠BOC与圆周角∠BAC存在怎样的数量关系. 2.是不是所有的圆心角和圆周角都符合这个数量关系呢？需要满足什么样的条件呢？ A B C O 知识讲解 （1）当圆心O在∠BAC的一边上时,（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C A B C O 知识讲解 O A B D O A C （2）圆心O在∠BAC的内部时, 知识讲解 C O D O （3）当圆心O在∠BAC的外部时, A B 知识讲解 11 圆周角定理 　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.相等的圆周角所对的弧相等. 想一想：怎样证明等弧所对的圆周角相等呢？通过一道题目来探讨一下. A1 A2 A3 A B C O 知识讲解 例2 试分别求出图中∠x的度数. 解：(1)∵同弧所对的圆周角相等， ∴ ∠x ＝60°. (2)连结B F. ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠A B F= ∠Ｄ＝20°,∠FBC =∠ E＝30°, ∴ ∠ x ＝ ∠A B F+ ∠F BC=50°. 知识讲解 2.如图，圆心角∠AOB=100°， 则∠ACB=_ __. O A B C 1.求圆中∠x的度数. B A O . 70° x A O . x 120° 练习 130° (1)∠x=35° (2)∠x=120° 知识讲解 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. 若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？ ⌒ 理由如下： 连结DO，AO，BO. ∵ AB=AD， ∴∠AOB=∠AOD. 又∠1=∠AOD ， ∠2=∠AOB, ∴∠1=∠2. ⌒ ⌒ ⌒ 解：∠1=∠2. 探究 知识讲解 推论1 半圆（或直径）所对的圆周角都相等，都等于90°（直角），90°的圆周角所对的弦是直径. 想一想：如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边形ABCD的对角线. 若AC是⊙O的直径， ∠ADC = ， ∠ABC = . 90° 90° 知识讲解 例3 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙O于点B, 求AB、BC的长． B 解：(1)∵AC是⊙O的直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ ADC 中， 知识讲解 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2)∵ AC是⊙O的直径,∴ ∠ABC=90°. ∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. B 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. 归纳 知识讲