第二十九章 29.4切线长定理（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（冀教版）

第二十九章 直线与圆的位置关系 第二十九章 直线与圆的位置关系 29.4 切线长定理 1 学 习 目 标 1 2 掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.(重点） 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点） 3 了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 新课导入 互动探究 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 知识讲解 一.切线长 P 1.切线长的定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线与切线长的区别 知识讲解 二.切线长定理 问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？ PA=PB，∠APO=∠BPO. 1.切线长定理的内容 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 2.几何语言 B P O A 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 知识讲解 O. P 已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 拓展结论 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △APB △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. B P O A C E D ★切线长问题辅助线添加方法 （3）连接圆心和圆外一点. （2）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； 知识讲解 例1 已知如图过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A,B,Q为劣弧 上异于A,B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA,PB相交于点C,D. 求证：ΔPCD的周长等于2PA. 知识讲解 例1 已知如图过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A,B,Q为劣弧 上异于A,B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA,PB相交于点C,D. 求证：ΔPCD的周长等于2PA. 证明：∵PA,PB,CD都是⊙O的切线 ∴PA=PB CQ=CB DQ=DA ∴ΔPCD的周长=PC+PD+CD =PC+PD+CB+DA =(PC+CB)+(PD+DA) =PB+PA =2PA 知识讲解 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切， 那么圆心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点. 为什么呢？ 例2 用尺规作图，使其与三角形的三边都相切 已知：如图ΔABC 求作：⊙I，使它与ΔABC三边都相切 知识讲解 M N D 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为I. 2.过点I作ID⊥BC.垂足为D. 3.以I为圆心，ID为半径作圆I. ☉I就是所求的圆. 知识讲解 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. B 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角平分线的交点. ┐ A C O ┐ ┐ D E F 提示：三角形的内心到三角形的三边的距离相等. ⊙O是△ABC的内切圆， 点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形, OD=OE=OF. 知识讲解 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边 垂直平分线的交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边