第三章 3 垂径定理（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（北师大版）

第 三章 圆 第三章 圆 3.3 垂径定理 1 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 等腰三角形是轴对称图形吗？ 如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？ 知识回顾 ●O A B C D M└ ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 条件 ③AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 结论 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 知识讲解 合作探究 连接OA,OB,则OA=OB. ●O A B C D M└ 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ ∴ AC =BC, ⌒ ⌒ 　 AD =BD. 知识讲解 ●O A B C D M└ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC = BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言 一、垂径定理 知识讲解 判断下列图形，能否使用垂径定理？ O C D B A 注意：定理中的两个条件缺一不可—— 直径（半径），垂直于弦. × × √ B O C D A O C D E 练一练 知识讲解 二、垂径定理的逆定理 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 合作探究 ●O C D ●M A B 知识讲解 ③CD⊥AB, ●O C D 由 ① CD是直径 ② AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ●M A B 平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 解: 知识讲解 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 思考 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？ O C D B A 知识讲解 E O D C F 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m.求这段弯路的半径。 ⌒ ⌒ ⌒ 例 例题讲解 知识讲解 解这个方程，得R=545. E O D C F 连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。 ∵OE⊥CD 根据勾股定理，得 OC²=CF² +OF² 即 R²=300²+(R-90)². 所以，这段弯路的半径为545m. 解: 知识讲解 1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。 随堂训练 2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ O C D B A O C D B A O C D B A 有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上； 3、圆心在平行弦内. 随堂训练 3.若⊙O中弦AB∥CD。 那么AC＝BD吗？为什 么？ ⌒ ⌒ 解：AC＝BD，理由是： 作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM， CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧） ∵AM－CM ＝ BM －DM ∴ AC＝ BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ . M C D A B O N 随堂训练 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 16 16 $$