3.3 抛物线 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题： 抛物线 知识点 1．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程及几何性质 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 3．直线和抛物线的位置关系 （1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ．即： 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦：设直线交抛物线于点两点，则== 同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 4．抛物线的重要公式 （1）已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点．设A（x1,y1），B（x2,y2），则：①焦点弦长 弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2| ②A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即：（随焦点动而变） ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p．根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p． （2）其他结论： S△OAB＝（其中，α为直线AB的倾斜角）； （3）以AB为直径的圆必与准线相切于点H． 【注1】 1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题 （1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； （2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； （3）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 【注2】 1．抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用． 2．利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 典型例题 例1．抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A 2 B 1 　　　　　　　　C． 　　 D． 例2动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 例3已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则（ ） A． B． C． D． 例4抛物线的焦点到准线的距离为（　　） A． B． C．1 D．2 例5已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（　　） A．7 B．5 C．3 D．1 例6已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，则p的值等于（　　） A． B．2 C． D．4 例7已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．3 例8顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（　　） A． B． C．或 D．或 例9抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 例10已知抛物线的方程为 ，则此抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 例11直线与抛物线交于，两点，则（　　） A． B．8 C． D．16 例12已知等边（为坐标原点）的三个顶点在抛物线上，且的面积为，则（　　） A． B．3 C． D． 例13已知直线过抛物线：的焦点且与交于，两点，线段的中点关于轴的对称点在直线上，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例15已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（　　）． A． B． C． D． 例16抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（　　） A．±1 B． C． D． 例17过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，