5.2.1三角函数的概念(第2课时)课件-2023-2024学年高一上学期人教A版(2019）必修第一册

5.2任意角的三角函数 5.2.1 任意角的三角函数 第2课时 1.上一节我们学习了三函数的定义,请你说说三角函数概念的抽象过程,它与幂、指、对函数的对应关系有何异同? 首先将现实中周而复始的现象抽象为单位圆上点P的运动; 然后在直角坐标系中建立点P和以OP为终边的任意角 的联系; 再从特殊角到一般角,认识角 与点P(x,y)坐标之间的对应关系,得出: 最后给出三角函数的定义。 三角函数与幂、指、对函数的对应关系的相同点: 都与函数的一般概念相同 不同点: 三角函数是“几何对应”,无代数运算, 其余函数都有明确的代数运算意义。 复习与回顾 2.上一节我们学习了三函数的定义,请你说说三角函数的概念及三要素? 设 是一个任意角, ∈R, 它的终边与单位圆交于点P(x,y), 则 (1)点P的纵坐标y叫 的正弦函数,记作sin , 即 (2)点P的横坐标x叫 的余弦函数,记作cos , 即 返回 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx 定义域 对应 关系 值域 3.如果在终边上不取单位圆上的点,又该怎样定义?试对这两个定义作个比较? 设 是一个任意角,P(x,y)是终边上的任意一点(除顶点外). 则点P与原点O的距离为 返回 的三角函数只与终边的位置有关,与它终边上取点的位置无关,即这两个定义是等价的。 虽然第二个定义有时用起来更方便,但第一个定义用单位圆上的点来定义并不会失去一般性,而且更简单. 3.用定义求三角函数的,其基本步骤是怎样的? 两个定义的比较: 4.请大家思考一下,接下来还要研究三角函数的哪一些性质? 终边在单位圆上点的坐标或坐标的比值就是三角函数,而单位圆具有殊性质,反映到三角函数取值的规律上,就会比幂指对函数的性质更丰富。 接下来,我们就先从定义出发,结合单位圆的性质,得出三角函数的一些性质. 知识探究(一) 思考1:根据三角函数的定义,以及这 的终边所在的位置,你能说说终边在各象限和坐标轴时,正弦函数、余弦函数和正切函数值的符号有什么规律吗? o x y 正弦函数值的符号 上正下负横为0, y 轴上 1 下 -1。 o x y 余弦函数值的符号 右正左负纵为0, x 轴右1 左 -1。 o x y 正切函数值的符号 一三正,二四负; 横为 0 ,纵无意. o x y 上正下负横为0, y 轴上 1 下 -1。 o x y o x y 右正左负纵为0, x 轴右1 左 -1。 一三正,二四负; 横为 0 ,纵无意. 三角函数值的符号 返回 思考2:根据三角函数的定义,说说|sin |,|cos |,|tan |的大小与 终边位置的关系? 终边越靠近x轴: |cos |越大, |sin |越小, |tan |越小 终边越靠近y轴: |cos |越小, |sin |越大, |tan |越大 终边在象限的角平分线上: |sin |=|cos |, |tan |=1 结 论 先证充分性, 即若①②成立,则角 为第三象限角 ∵①式 sin <0 成立 ∴ 角的终边位于第三或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 证明: 又∵②式tan >0成立 ∴角 的终边可能位于第一或第三象限. ∵①②式都成立, ∴角 的终边只能位于第三象限.即角 为第三象限角. 再证必要性, 即若角 为第三象限角,则①②成立. 例析 ∵角 为第三象限角, ∴sin <0,tan >0. 即①②都成立. 例1.求证:角 为第三象限角的充要条件是: 思考:”不等式①②”是“角 为第三象限角“的充要条件是什么意思? 你会证明吗? 练习 知识探究(二) 思考(1):联系三角函数的定义,以及终边相同角的表示,判断下列这组等式是否成立? 为什么? sin( +2k )= sin , cos( +2k )= sin , tan( +2k )= sin , k∈Z. 由三角函数的定义知, 终边相同的角,其对应的三角函数值相等; 由终边相同角的表示知识可知, +2k (k∈Z) 与 的终边相同; 因此,以上等式均成立。 诱导公式一 思考(2):诱导公式一反映了三角函数取值的什么规律,这是由于圆上的点的什么运动规律造成的? 返回 思考(2):诱导公式一反映了三角函数取值的什么规律,这是由于圆上的点的什么运动规律造成的? 诱导公式一反映了三角函数的取值具有周期性,即其实质是圆上的点绕圆周运动整数周后仍然回到原来的位置。 思考(3):诱导公式一有什么作用 ? 把任意角的三角函数值转化为0~2 (或0 ~360 )内的角的三角函数值 同时,只要研究清楚了三角函数在0~2 (或0 ~360 )内的性质,则就清楚三角函数在整个定义域上的性质。 诱导公式一的作用 返回 例析 思考: 还记得如何在0~2 (或0 ~360 ) 内找出与 终边相同的角吗 ?