3.2双曲线部分重要结论知识清单-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

制作:窦鑫奇 审核：康雨蒙 质检：张春红（老师） 3.2双曲线部分重点结论及其推导过程 1.双曲线的第三定义 若一个动点M与两个定点A（，0），B（，0）。（）连线的斜率之积为一个常数，即 三个重要推论： ①当时，轨迹为双曲线（除去A，B两点），方程为（）； ②当时，轨迹为椭圆，方程（）； ③当时，轨迹为圆（除去A，B两点），方程为（）。 2.双曲线的焦点三角形 （1）如图，P是双曲线上任意一点，当点P，，不在同一条直线上时，它们构成△P，该三角形叫做双曲线的焦点三角形。 （2）设∠，则由双曲线的定义及余弦定理，得=，① · =，② ②·（）=， 所以 又，所以. 3.利用正弦定理求离心率 4.双曲线焦点三角形内切圆圆心的横坐标为。 5.双曲线的一般方程： ①当双曲线的位置不确定时，可以设双曲线的一般方程为（），这样可以避免分类讨论。 ②当双曲线的位置不确定时且已知实轴和虚轴相等时，即a=b时，可以设双曲线的一般方程为（）。 6.与渐近线有关的常用性质 性质一：双曲线的焦点到两条渐进线的距离均为常数b，双曲线的顶点到两条渐近线的距离均为常数（使用点到直线的距离公式即可证明）； 性质二：双曲线上的任意一点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 性质三：设点P是双曲线上任意一点，过点P作双曲线两条渐进线的平行线分别与两渐近线交于Q，R两点，则平行四边形PQOR的面积为 7.计算双曲线离心率的常用结论： 8.双曲线的第二定义 （1）定义：平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线（定点不在定直线上）的距离之比是常数时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。 （2）准线方程：左准线：，右准线：； 上准线：，下准线：。 （3）焦半径公式：设双曲线（），是左焦点、右焦点。则由双曲线的第二定义：，得=，同理，=，即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：=。 同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：=。 （其中分别是双曲线的下焦点、上焦点） 9.直线与双曲线位置关系的判断 判断直线与双曲线的位置关系时，通常将直线l的方程（）代入双曲线E的方程（），消去y（或消去x）得到一个关于变量x（或y）的一元方程。 例如，由消去y，得（） （1）当，即时（此时直线与渐近线平行），得到一个一元一次方程，则直线l与双曲线E相交，且只有一个交点。（注意：直线与双曲线只有一个公共点时，直线与双曲线不一定是相切的。） （2）当，即时， ①若，则直线l与双曲线E相交于不同的两点； ②若，则直线l与双曲线E相切，有一个交点； ③若，则直线l与双曲线E相离，无交点。 10.双曲线的通径 定义：过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径。 通径长：对于双曲线（），将代入双曲线的方程， 可得，解得 所以直线与双曲线的两个交点为A（），B（）， 计算得通径长。（与椭圆的通径长公式相同。） 同理，可求得双曲线（）的通径长也是。 常用结论：过焦点的弦中，若直线与双曲线的单支相交，则最短弦为通径；若直线与双曲线的两支相交，则最短弦长为2。 11.与双曲线有关的常用结论 （1）若点A，B是双曲线C：（）的顶点，点P是双曲线C上除A，B以外的任意一点，则 提示：若双曲线的焦点在y轴上，则结论为：. 推论1：若点A,B是双曲线C：（）上任意关于双曲线中心对称的两点，点P是双曲线C上除A，B以外的任意一点，则 推论2：若点A，B是双曲线C：（）上任意关于双曲线对称中心对称的两点，点P是双曲线C上除A，B以外的任意一点，则. （2）（中点弦）若A，B是直线l（斜率存在且不为0）与双曲线C：（）的两个交点，点P是弦AB的中点，则. 提示：若双曲线的焦点在y轴上，则结论为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$