3.1椭圆部分重要的二级结论知识清单-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

制作:窦鑫奇 审核:康雨蒙 质检:张春红(老师) 3.1椭圆部分重点结论 1.椭圆的焦点三角形 在椭圆中,当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的焦点时,这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形,这个三角形就是椭圆的焦点三角形,如图所示,∠=。 焦点三角形的常用结论: (1)焦点三角形的周长为2a+2c (2)4=cos 4 (3)焦点三角形的面积为点M的纵坐标。 (4)当M与点或重合时,∠取得最大值。 2.椭圆的一般方程 对于椭圆标准方程的两种形式,去分母整理之后都可以化成形如的形式,但是形如的方程未必表示椭圆,当且仅当A,B,C为同号且不为零的常数,且AB时表示椭圆,此时称为椭圆的一般方程。 方程(其中A,B,C为同号且不为零的常数,AB)可变形为。 当时,焦点在x轴上;当时,焦点在y轴上。 椭圆的一般方程通常设为,此时应特别注意且,利用椭圆的一般方程求椭圆方程的优点是可以避免分类讨论。 3.椭圆的通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径,长度为。 提示:在椭圆过焦点的弦中,通径最短,长轴最长。 4.椭圆的第二定义 (1)定义:平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离之比为常数e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。定点F为椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率。如图(0<e<1) (2)准线方程: ①椭圆的准线方程为; ②椭圆的准线方程为; 两准线间的距离为,焦点到相应准线的距离为。 (3)焦半径公式: ①P(,)为椭圆上任意一点,,分别为椭圆的左焦点、右焦点,则有,; ②P(,)为椭圆上任意一点,,分别为椭圆的下焦点、上焦点,则有,。 (焦半径公式记忆口诀:“左加右减,下加上减”) 5.直线与椭圆相交的弦长公式 设直线l:y=kx+m交椭圆于P1(,),P2(,)两点,由,消去y,得到的方程记为A+Bx+C=0,则。同理可得()。其中的,,,可通过联立的方程,消去一个未知数,得到一个一元二次方程后,利用根与系数的关系(韦达定理)求得,这正是常说的“设而不求”的技巧。 6.椭圆的第三定义: 若点A,B是椭圆C:的左、右顶点,点P是椭圆C上除A,B以外的任意一点,则。 提示:若椭圆的焦点在y轴上,则结论为。 (1)推论1:若点A,B是椭圆C:上任意关于椭圆中心对称的两点,点P是椭圆C上除A,B以外的任意一点,则。 (2)推论2:若点A,B是椭圆C:上任意关于椭圆中心对称的两点,点P是椭圆C上除A,B以外的任意一点,则。 7.中点弦的推论: 若A,B是直线l(斜率存在且不为0)与椭圆C:的两个交点,点P是弦AB的中点,则。 提示:若椭圆的焦点在y轴上,则结论为。 8.利用正弦定理求离心率 因为; 所以。 9.计算椭圆离心率的常用结论: 1 学科网(北京)股份有限公司 $$