排列组合题型讲义-2024届高三数学一轮复习

排列组合 专题01 两个计数原理 3 类型一、加法原理 3 类型二、乘法原理 6 类型三、基本计数原理的综合应用 7 专题02 排列数组合数的计算 13 类型一、排列数组合数的简单计算 13 类型二、排列数组合数公式的应用 19 专题03 排队问题 32 专题04 数字问题 41 专题05 分堆问题 54 专题06 染色问题 66 专题07 错位排列 84 专题08 直接法模型 90 专题09 间接法模型 110 专题10 几何问题 97 专题11 多面手问题 110 专题12 插空法模型 118 专题13 捆绑法模型 134 专题14 分配问题 146 专题15 隔板法模型 160 专题16 分解法模型和最短路径问题 171 专题18 环排问题 212 专题19 列举法策略 219 专题20 定序问题 235 专题21 排队问题 248 专题01 两个计数原理 类型一、加法原理 例1.算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下五珠,上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠,可以表示不同整数的个数为( ) A.8 B.10 C.15 D.16 拨动图1算盘中的两枚算珠,有两类办法, 由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分,则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法,在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法, 由分类加法计数原理得共有8种方法, 所以表示不同整数的个数为8. 故选:A 例2.甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤,他们申请值勤路口的意向如下表: 交通路口 A B C 志愿者 甲､乙､丙､丁 甲､乙､丙 丙､丁 这4名志愿者的申请被批准,且值勤安排也符合他们的意向,若要求三个路口都要有志愿者值勤,则不同的安排方法数有( )A.14种 B.11种 C.8种 D.5种 解:由题意得: 以C路口为分类标准:C路口执勤分得人口数情况有种,两个人或一个人 C路口执勤分得人口数为个,丙、丁在C路口,那么甲、乙只能在路口执勤; C路口执勤分得人口数为个,丙或丁在C路口,具体情况如下: 丙在C路口: A(丁)B(甲乙)C(丙); A(甲丁)B(乙)C(丙); A(乙丁)B(甲)C(丙); 丁在C路口: A(甲乙)B(丙)C(丁); A(丙)B(甲乙)C(丁); A(甲丙)B(乙)C(丁); A(乙)B(甲丙)C(丁); A(乙丙)B(甲)C(丁); A(甲)B(乙丙)C(丁);. 所以一共有2+3+6=11种选法. 故选:B. (多选题)例3.现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是( ) A.从中任选1个球,有15种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法 D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法 解:A. 从中任选1个球,有15种不同的选法,所以该选项正确; B. 若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法,所以该选项正确; C. 若要选出不同颜色的2个球,有种不同的选法,所以该选项错误; D. 若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法,所以该选项正确. 故选:ABD 例4.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,如表: A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 二物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择? 解:这名同学可以选择A,B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法,在B大学中有4种专业选择方法,∵没有一个强项专业是两所大学共有的,∴根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择种数. 例5.在读书节上,1名学生要从7本不同的科技类图书、8本不同的历史类图书和6本不同的文艺类图书中任选1本,共有多少种不同的选法? 解:由题可知,有7本不同的科技类图书、8本不同的历史类图书和6本不同的文艺类图书, 从中任选1本,则共有7+8+6=21种不同的选法. 类型二、乘法原理 例1.某办公室为保障财物安全,需在春节放假的七天内每天安排一人值班.已知该办公室共有四个人,每人需值班一天或两天,则不同的值班安排种数为( ) A.360 B.630 C.2520 D.15120 有一人值班一天,其余三人各值班两天,则根据每个人的排班情况可计算不同的值班安排共有种. 故选:C. 例2.将2封不同的信投入3个不同的信箱,不同的投法种数为( ) A. B.3 C. D. 第一封信的投法有3种,第二封信的投法有3种, ∴根据分步计数原理可知一共有(种)投法.故选:C. 例3.一排有10盏灯,如果用灯亮表示数1