1.1.1空间向量及其线性运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量及其线性运算 三.新知初探 (一)空间向量的有关概念 1.定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量. 2.长度或模：空间向量的 . 大小 方向 大小 3.表示方法： 有向线段 起点 终点 ①字母表示法：用小写黑体字母 表示；模为 ②几何表示法：用 表示；若向量起点是 , 终点是 ,也可记作： ，其模记为 . 4.几个特殊的向量概念： 平面向量 空间向量 零向量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 模为0的向量，记作：0 模为1的向量 模相等，方向相同的向量 模相等，方向相反的向量 空间中的任意两个非零向量，都可以通过平移使它们的起点重合。 因此，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一 平面内的两个向量。 所以对于空间向量的研究可以类比平面向量得出. （二）空间向量的线性运算 1.空间向量的加法、减法 运算：空间向量的加法、减法运算与平面向量的运算一样. 运算律： ①交换律： ②结合律： A a O Q P λ a λ >0 M N λ a λ <0 2.空间向量的数乘运算 运算：空间向量的数乘运算与平面向量的运算一样. 运算律： ①结合律： ②分配律： 当 ， 当 ， 当 0或 ， 给定一个实数λ与任意一个空间向量 ，则实数λ与空间向量 相乘的运算称为数乘向量，记作 ．其中：当λ≠0且 时， 的模为 ,而且 的方向满足： 对于空间中任意向量a和向量b,以及实数λ和μ， 3.知识拓展 ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： 4.互动探究 在平行六面体 中，分别标出 表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 发现： 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． （三）共线向量 1.定义(类比平面向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______________ ，则这些向量叫做_________或平行向量． 互相平行或重合 共线向量 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量 ，都有0∥a. 探究思考2: 反之， 与 有什么样的位置关系时， ？ 对任意两个空间向量 与 ,如果 , 与 有什么样的位置关系？ 类比平面向量 对任意两个空间向量 与 ,如果 , 则 与 是平行或者共线的向量. 反之，当 与 是平行或者共线的向量，则存在实数 满足 . 对于空间任意两个向量𝑎,𝑏 (𝑏 ≠ 0),𝑎 // 𝑏 的充要条件是存在实数λ使______. 3.直线的方向向量： 2.共线向量定理： 直线 可以由其上一点和和它的方向向量确定。 此时我们把与向量 平行的非零向量称为直线l的方向向量. 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一 点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 , 使得 思考：通过 证明𝑎 // 𝑏 ，还需要什么条件呢？ 需要说明向量a所在的直线上至少有一点不在向量b所在的直线上. （四）共面向量 平行于__________的向量叫做共面向量． 1.定义 同一个平面 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是 共面的，也可能是不共面的。 那么，什么情况下三个空间向量共面呢？ 如图：如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与 直线 平行或重合，那么称向量 平行于直线 . O A l 如果直线 平行于平面 或在平面 内,那么向量 平行于平面 . 探究思考3: 对平面内任意两个不共线的向量 由平面向量基本定理可知，这个平面内 的任意一个向量 都可以写成 ，其中 是唯一确定的有序实数对. 对两个不共线的空间向量 ，如果 ，那么向量 与向量 有什么 位置关系？ 反过来，向量 与向量 有什么位置关系时， ？ 猜想： 如果空