3.2.1双曲线及其标准方程2课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 3 章圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程2 仁寿一中北校区 李安祥 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养． 2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养. 01 情景导入 文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. 符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 1．双曲线的定义 一、复习引入 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 2.双曲线与椭圆之间的区别与联系 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 一、复习引入 02 双曲线焦点三角形 1．[变条件]若本例(2)条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积． 〖母题探究〗 2．[变条件]本例(2)中，将条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积． 〖母题探究〗 类题通法 双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c， 所以有 (1)定义：|r1－r2|＝2a. (2)余弦定理：4c2＝＋－2r1r2cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝ r1r2sin θ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． 焦点三角形 焦点三角形的面积 03 与双曲线有关的轨迹问题 使A、B两点在 x 轴上,并且点O与线段AB的中点重合. 分析: ∵A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, ∴A地距爆炸点比B地距爆炸点远680m. ∵|AB|>680m, ∴ 爆炸点在以A、B为焦点的双曲线靠近B处的一支上. 【例2】已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解：如图所示，建立直角坐标系xOy, 设爆炸点P的坐标为(x, y),则 即2a=680，a=340. ∴ 炮弹爆炸点的轨迹方程为 04 练一练 05 课后作业 如图，P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形． 设∠F1PF2＝θ，则由双曲线的定义及余弦定理得， ||PF1|－|PF2||＝2a⇔|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2①， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ＝|F1F2|2＝4c2②. 由②－①得2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2， 则|PF1|·|PF2|＝eq \f(2b2,1－cos θ). 又S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin θ，从而S△PF1F2＝b2·eq \f(sin θ,1－cos θ)＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)). $$