圆锥曲线中的双斜率问题讲义-2023届高三数学二轮复习

双斜率问题 圆锥曲线中有一类双斜率问题，前面提到过的齐次化也是双斜率问题，但齐次化的双斜率都是明摆出来的，相对简单.圆锥曲线中还有一类双斜率问题，它们没有提示两个斜率存在关系，需要考生自己去摸索，对于考场考生来说难度较大，若没有很快发现斜率关系，第二问就很难入手. 例1、（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 解：（1） （2）设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得，得到两个斜率的关系，把要求的倾斜角转到斜率 ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以 若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. 例2、已知圆心在 x 轴上移动的圆经过点 A (4，0)，且与x轴、y轴分别交于点 B ( x ,0), C (0, y)两个动点，记点 M ( x , y)的轨迹为曲线T. (1)求曲线T的方程； (2)过点 F (1,0)的直线l与曲线T交于 P , Q 两点，直线 OP , OQ 与圆 F :(x1)2y21的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN 与△OPQ的面积之比的最大值． 解：（1）依题意，设圆心坐标为(x0 ,0)，因为A (4，0)在圆上 所以半径 r =|x04|(x0≠4) 因为B ( x ,0), C (0, y)在圆上，所以x(4)2x0，x02y02(x0 +4)2 消去x0，得y24x 所以曲线T的方程为y24x （2）分析：直线斜率是否存在不确定，但不为0，因此可设为 x = my 1，并与抛物线方程联立 设P ( x1 , y1 )，Q (x2，y2)，直线PQ的方程为: x=my+1 联立消去x整理得y24my4=0 所以y1y24 分析：欲求出三角形面积之比的最值，先考虑建立函数关系，由于△OMN和△OPQ的顶角 MON相同，只要计算边长乘积之比即可，进而转化为纵坐标之比，为此先求出点 M , N 的纵坐标． 设OP , OQ的斜率分别为k1，k2，则k1k24 设OP方程为xm1y 联立得y24m1y=0 解得y0或y4m 故y14m1 联立xm1y与圆F的方程得(m12+1)y22m1y0 解得y0或y 故 所以｜｜ 设直线OQ的方程为x=m2y 同理可得 又k1k24 故m1m2 故 设△OMN与△OPQ的面积分别为S1，S2 ≤ 当且仅当时取等 纵观上面两道例题，其关键在于找到两条直线的斜率的关系.在例题1中，第二问的题目设计是求倾斜角的正切值，这给了我们一定的提示，让我们往斜率的方向去想，而在例题2中，题目并没用太多的信息提示，如果我们并没有发现两者斜率的关系，那我们需要联立多一条方程，而知道两者斜率关系之后就可以直接等价替换，减少了大量的运算，达到了我们寻技的目的. 学科网（北京）股份有限公司 $$