第三章 整式的加减 培优讲义 2023-2024学年华东师大版七年级数学上册

整式的加减培优讲义 考点1.利用整体思想化简求值 典例精析 （2022秋•旌阳区校级期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+5（a﹣b）2的结果是 　　． （2）当x＝1时，代数式a2x3+bx﹣5的值为2，则当x＝﹣1时，求代数式2a2x3+2bx﹣10的值． 拓广探索： （3）求2（3m2+n）﹣3（2m2﹣mn）﹣（4mn﹣2m）的值，其中m+n＝3，mn＝﹣9． 方法归纳 整式化简求值时，若无法直接求出字母的值，且整式的 某部分与已知条件中的某部分相似，可利用整体思想解题，应用此方法， 一般先将求 值式变形为与已知条件相似或者相同，或者成倍数关系的 形式，再利用整体代入的方法求解. 针对训练 1.如果代数式8y2﹣4y+6的值是﹣10，那么代数式2y2﹣y﹣4的值等于（　　） A．0 B．﹣5 C．﹣8 D．8 2.对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则2[4m+（2n+1）]+m＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3 3.（2022秋•黄陂区期中）当x＝2时，代数式ax3﹣bx﹣1的值为﹣15，则当x＝﹣1时，代数式16ax2+4bx+3的值为 　　． 4.（2022秋•济南期末）已知m﹣n＝2，mn＝﹣5，则3（mn﹣n）﹣（mn﹣3m）的值为 　　． 5.先化简，再求值．若m2+3mn＝﹣5，则代数式5m2﹣[5m2﹣（2m2﹣mn）﹣7mn+7]的值． 6.（2023秋•大连期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）．解：原式＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）． 参照本题阅读材料的做法解答： （1）把（a﹣b）6看成一个整体，合并3（a﹣b）6﹣5（a﹣b）6+7（a﹣b）6的结果是 　　． （2）已知x2﹣2y＝1，求3x2﹣6y﹣2023的值． （3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣4，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值． 7.（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x﹣3的值． 小明采用的方法如下： 由题意得x2+x+3＝7，则有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5． 所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． [方法运用] （1）若代数式x2+x+1的值为10，求代数式﹣2x2﹣2x+3的值． （2）当x＝2时，代数式ax3+bx+4的值为9，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+3的值． [拓展应用] 若a2﹣ab＝26，ab﹣b2＝﹣16，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 　　． 8.（2023秋•深圳期中）在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式5a+3b＝﹣4，求代数式2（a+b）+4（2a+b）+3的值．解法如下： 原式＝2a+2b+8a+4b+3＝10a+6b+3＝2（5a+3b）+3＝2×（﹣4）+3＝﹣5． 利用整体思想，完成下面的问题： （1）已知﹣m2＝m，则m2+m+1＝　　； （2）已知m﹣n＝2，求2（n﹣m）﹣4m+4n﹣3的值． （3）已知m2+2mn＝﹣2，mn﹣n2＝﹣4，求的值． 考点2.新定义问题 例.（2022秋•北京期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”． （1）数对（1，），（1.5，3），（，﹣1）中，是“有趣数对”的是 　　； （2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值； （3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mnm﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2的值． 方法归纳 三步解决“新定义”问题 (1)审题——提取信息提取关键词，明确“新定义”的概念、原理、方法、步骤和结论；(2)理解——以旧引新利用“例子”及“旧知识”理解 和正确运用“新定义”;(3)转化——迁移应用类比“新定义”中的概念、原 理、方法、步骤和结论，解决题目中需要解决的问题. 针对训练 1.（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a⊗b＝