北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

牛栏山一中2023—2024学年第一学期期中考试 高二数学 2023.11 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目） 1. 若直线与垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 椭圆两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ） A B. C. D. 3. 若表示圆的方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 5. 已知抛物线上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 6. 已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（ ） A. B. C. 与斜交 D. 7. 已知点的坐标为，圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 8. 已知三棱锥，点是的中点，点是的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（ ） A. B. C. D. 9. 设点为函数图象上的动点，是圆：（其中）上的动点，若的最小值为，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（ ） A. 对于任意的点，均有 B. 存在点，使得平面 C. 存在点，使得与所成角是 D. 不存在点，使得与平面的所成角是 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 直线的倾斜角为______. 12. 平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为________． 13. 已知抛物线：的焦点为F，准线为，则F到的距离是_________；若斜率为的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M，过M作垂直于于点N，则的面积为__________． 14. 已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，设两曲线的其中一个交点为P，且，则双曲线的离心率为________． 15. 关于曲线：，： ①曲线关于x轴、y轴和原点对称； ②当时，两曲线共有四个交点； ③当时，曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积； ④当时，曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3． 上述结论中所有正确命题的序号是___________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤． 16. 平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为． （1）求圆的标准方程； （2）若与圆相切，求m的值； （3）若直线被圆截得的弦长，求的值. 17. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点. （1）求抛物线标准方程、焦点坐标； （2）经过焦点F且斜率是1的直线，与抛物线交于A、B两点，求以及的面积. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，直三棱柱中，，，，为棱的中点，点N是上靠近C的三等分点 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 20. 已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为，记直线，的斜率分别为，． （1）求椭圆的方程； （2）当时，求直线的方程； （3）求证：为定值． 21. 对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值． （1）已知，． ①直接写出和（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时的值； （2）设，，求证：； （3）在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）． 牛栏山一中2023—2024学年第一学期期中考试 高二数学 2023.11 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答