4.2.2 等差数列的性质及其应用课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2 等差数列的性质及其应用 1 一、课题导入 4.等差数列的函数特征： 函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列. 2.通项公式： 1.等差数列的定义： an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 3.等差中项： 这三个数满足关系式： A= d= 二、引导探究1——等差数列的常见性质 等差数列通项公式的推广 性质1:等差数列的通项公式的推广公式an＝am＋(n－m)d am=a1 +(m-1)d an-am =(n-m) d am=? an-am =? 性质2:下标性质： 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ . 特别地: 若m＋n＝2p(m,n,p∈N*)，则有am＋an＝ . ap＋aq 2ap 反例： 常数列 性质3:在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列. 若下标成等差数列，则对应的项成等差数列. 即：若 是等差数列,公差为 ,则 , , , 是公差为 的等差数列． 性质4:若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列, 则 ①数列{c＋an}的公差为 d； ②数列{c·an}的公差为 cd； ③数列{pan＋qbn}的公差为 pd＋qd′. 三、典型例题1 等差数列性质的运用 例1 （1）已知等差数列 , , ,求 的值； （2）已知等差数列 , ,求 的值； （3）已知数列 , 都是等差数列,且 , , ,求 的值． 解:（1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ， 所以在等差数列 中有 ， 从而 . （法三）因为5, , 成等差数列， 所以 ， ， 也成等差数列，因此 ， 即 ，解得 . （2）由等差数列的性质，得 ， 所以 ，解得 ，故 . （3）令 ，因为 ， 都是等差数列， 所以 也是等差数列． 设数列 的公差为 ，由已知得 ，由 ，得 ，解得 ，故 . 二、引导探究2——等差数列的综合问题 问题：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法： (1)设这三个数分别为 ， ， . (2)设该数列的首项为 ，公差为 ，则这三个数分别为 ， ， . (3)设该数列的中间项为 ，公差为 ，则这三个数分别为 ， ， . 那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？ 三、典型例题1 对称设项法在等差数列问题中的运用 例2 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 解：（法一）设这四个数分别为 ， ， ， ， 根据题意得 解得 或 ∴这四个数分别为2, , , 或 , , , . （法二）设此等差数列的首项为 ，公差为 ，根据题意得 化简得 解得 或 ∴这四个数分别为2, , 或 , , , . （法三）设这四个数分别为 ， ， ， ， 根据题意， 得 化简得 解得 ∴这四个数分别为2, , , 或 , , , . 方法总结 等差数列项的常见设法： （1）通项法. （2）对称项设法. 对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 . 1.当已知数列有 项时，可设为 , , , , , , ， ，此时公差为 . 2.当已知数列有 项时，可设为 , , , , , , , , ，此时公差为 . 等差数列的对称设项法 四、课堂练习 1.如果在等差数列 中， ，那么 ( ). A. B. C. D. C 2.在等差数列 中， ，则 的值是( ). A. B. C. D. C 3.若四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为 ，则这四个数分别为_____________． 4.在等差数列 中， ， ，，求 及公差 . 思考：其他条件不变，若am＋an＝ap＋aq，能得到m＋n＝p＋q吗？ $$