5.1.1任意角导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学人教A版（2019）必修第一册导学案 5.1.1任意角 【知识梳理】 【知识点一】角的概念的推广和分类 【1】角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 【2】角的表示 如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点，角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 【3】角的分类 按旋转方向，角可以分为三类： 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 【4】角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. 【5】角的加、减法 (1)角的加法 设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. (2)相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (3)角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β＝α＋(－β)．这样，角的减法可以转化为角的加法． 【知识点二】象限角 象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 【知识点三】终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 【例题探究】 【类型一】任意角的概念 【例1】(1)下列命题正确的是(　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 (2)分别求出下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角α，β，γ. 【变式训练1】(1)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是 . (2)射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝ . 【类型二】 终边相同的角的表示 【例2】将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角． (1)420°；(2)－510°；(3)1 020°. 【变式训练2】（多选题）有一个小于的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角可以为（ ） A． B． C． D． 【例3】(1)写出终边落在x轴上的角的集合； (2)终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合； (3)写出终边落在直线y＝－x上的角的集合． 【变式训练3】如图所示，已知直线l1：y＝x及直线l2：y＝－x，且l1与l2垂直，请表示出终边落在直线l1，l2上的角． 【类型三】 区域角的表示 【例4】已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 【变式训练4】写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合，如图所示． 【变式训练5】已知集合，集合，则有（ ） A． B． C． D． 【课堂小练】 1．以下说法，其中正确的有(　 　) ①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角； ③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．手表时针走过了1小时，时针转过的度数为(　 　) A．60° B．－60° C．30° D．－30° 3．（多选题）若是第二象限角，则(　 　) A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上 4．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是 . 5．已知角β的终边在直线上. ①写出角β的集合S. ②写出S中符合不等式-360°≤β<720°的元素. 【答案解析】 【例1】【解析】(1)终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<18