3.3 幂函数 课件（1）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 第三章 　函数概念与性质 问题1：函数y=2x,y=x2,这两个函数有什么区别？ 问题引入：函数的生活实例 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p = 。 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S = ， 问题3：如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V = ， 问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c= ， 问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = w 这里p是w的函数 a² 这里S是a的函数 b³ 这里V是b的函数 这里c是S的函数 这里v是t的函数 t-1 km/s 若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是: y = x² y= x³ y= x y=x 以上问题中的函数有什么共同特征？ （1）都是函数； （2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1。 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。 　y=x 　y=x2 　y=x3 　y=x1/2 　y=x-1 一.幂函数定义 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (1) 为常量, . 定义说明 (2) 中前面的系数为1. (3)定义域没有固定,与 的值有关. 式子 名称 a x y 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a 底数 指数 指数 底数 幂值 幂值 幂函数与指数函数的对比 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数 幂函数 指数函数 判断下列函数是否为幂函数。 (1) y=x4 (3) y= -x2 (2) y=2x2 (6) y=x3+2 牛刀小试 为 奇， 奇 函 数 为 偶， 偶函 数 第 一 象 限 增 第 一 象 限 减 幂函数图象与性质： x y 0 R R R [0,+∞） R R [0,+∞） [0,+∞） 均为增函数 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 定义域： 值 域： 奇偶性： 在(0,+∞)上 的单调性： x y 0 x y 0 x y 0 1 1 1 1 1 1 1 1 定义域： y 0 x {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 减函数 值域： 在（0,+∞）上的单调性： 奇偶性： 1 1 1 1 x y 0 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 (2) α为偶， 为偶函数， α为奇， 为奇函数，若则偶，奇则奇，m偶n奇，则奇 (3) 在第一象限内，当α>0时是增函数，其中，，上凸递增， ，下凸递增；当α < 0时，是减函数. (4)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). 对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点: (1)恒过点(1,1),且不过第四象限. 题型分析 题型一、幂函数的概念 例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值. 分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值. 解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3. 解题方法（判断一个函数是否为幂函数） 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形 式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式. 1.如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点,求实数m的取值. 解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,