4.2.2 等差数列的前n项和的性质及应用 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和的性质及应用 讲课人：XXX 一、复习回顾 等差数列前n项和公式？ 2 二、合作探究 问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法： （1）设这三个数分别为 ， ， . （2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , . （3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , . 那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？ [答案] 方法（3）可能更便捷一些． 问题2：如果四个数成等差数列，那么如何设这四个数更方便运算？ 3 二、合作探究 例1 若三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．   4 二、合作探究 探究1 等差数列前 项和的最值 例1（1） 等差数列 中， ， ，则当其前 项和 取最大值时 的值为( ). A. B. C. 或504 D. C   5 二、合作探究 （2） 已知等差数列 的前 项和为 ，若公差 , ，则当 取得最大值时， 的值为( ). A. B. C. D. 或24 D [解析] 设 ，则 ，又 ，所以函数 图象的对称轴为直线 ，即 ，画出二次函数 的图象可得当 或 时， 取得最大值． 6 二、合作探究 方法总结：等差数列前n项和的最值 （1）二次函数法： 将配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意 当 d>0时， 有最小值；当 d<0时， 有最大值； 且n取最接近对称轴的自然数时，取到最值 7 二、合作探究 （3） 邻项变号法： 当时，满足 的项数n使取得最大值. 当时，满足 的项数n使取得最小值. 方法总结：等差数列前n项和的最值 8 合作探究 例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 三、例题讲解 合作探究 例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 三、例题讲解 合作探究 例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 三、例题讲解 二、合作探究 探究2 利用等差数列前 项和公式判断等差数列 例 若数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和 <m></m> ，求数列 <m></m> 的通项公式，并判断数列 <m></m> 是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． [解析] ， ① 当 时， ， 当 时， ， ② 由①-②得 ， 经检验当 时， 不成立， 故 故数列 不是等差数列，数列 是从第二项起以4为公差的等差数列． 12 二、合作探究 总结：等差数列前n项和的常用性质 设等差数列的前n项和为 ，则 1. 数列是等差数列 (p、q为常数) 数列是等差数列. 2. 等差数列的依次k项之和，公差为的等差数列. 13 四、能力提升 例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位. 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数列，其前n项和为. 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且 . 由，可得 . 因此，第1排应安排21个座位. 14 四、能力提升 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k等于(　　) A．9　　 B．8　　 C．7　　 D．6 B 15 四、能力提升 2．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A．11或12 B．12 C．13 D．12或13 D 16 四、能力提升 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　) A．35 B．32 C．23 D．38 A 17 四、能力提升 4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2014＝S2021，Sk＝S2012，则正整数k为(　　) A．2020 B．2021 C．2022 D．2