3.3.2抛物线的几何性质(第一课时)课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的几何性质 （第一课时） 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。 · · F M l N 定点F不定直线l上 1.抛物线的定义 知识回顾 y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) 准线方程 焦点坐标 标准方程 图 形 x F O y l x F O y l x F O y l x F O y l y2=2px (p>0) x2=-2py (p>0) P的意义:抛物线的焦点到准线的距离 方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置. 2.抛物线的标准方程 类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 y2=2px（p>0） 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 思考： 下面，我们结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形，来探索它的一些几何性质。 新知探索 1.范围 x≥0,y∈R 2.对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点. 4.离心率 e始终为常数1. 5.焦半径 5 x y O F A B y2=2px 2p 过焦点且垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径. 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. |AB|=2p 6.通径 2p越大，抛物线张口越大. 思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？ 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 ﹒ y x o ﹒ y x o ﹒ y x o ﹒ y x o 特点: 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. 总结提炼 例1.(1)(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到 直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 抛物线几何性质的应用 (2)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝－4 B．x＝－3 C．x＝－2 D．x＝－1 解析：直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)， ∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)， ∴准线方程为x＝－4.故选A. (3)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________. 例2.斜率为1的直线l经过抛物线y2 = 4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 法2:设而不求,运用韦达定理,利用弦长公式. 分析：由题设易得直线l的方程为y = x-1， 与抛物线联立可直接求A，B两点坐标, 从而求线段AB的长.                 解这题,你还有什么方法呢? 12 例2 例2.斜率为1的直线l经过抛物线y2 = 4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.                 ' ' 法3:设而不求,数形结合,活用定义, 运用韦达定理,计算弦长. 焦点弦公式 还有没有其他的方法求|AB|? 问题：如果直线l不经过抛物线的焦点F，焦点弦公式还成立？ |AB|的最小值？ 解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高! 练习 1.直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝ . 2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 . 8 方程 图 形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦的长度 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x