圆锥曲线中的小技巧讲义（1）-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的小技巧（1） 非对称韦达： 1 轨迹为圆的 8 参数方程与普通方程的互化 10 中点弦问题： 13 隐性中点： 13 定比点差： 14 第三定义： 15 齐次化： 16 非对称韦达： 此外，在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”． 我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法， 非对称韦达的处理，技巧性稍强一些，具体处理方法技巧． 【例题 1】 已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值． 解析 反设直线： 由题，A(－2，0)，B(2，0)，设， 则， ， 联立，消x得，且△>0， 则 策略一：和积转换(一般是积转和) 所以，代入得，，为定值，得证. 策略二：配凑半代换 因此，得证 正设直线： 情形一 当直线l斜率不存在时，此时，，或， 因此或，，此时均有，为定值； 情形二 当直线l斜率存在时，不妨就正设直线，，， 因此， ， 联立，消得， 易知△＞0，则 策略一：和积转换（一般是积转和） 即，因此， 所以，为定值，得证. 策略二：配凑半代换 所以， 即，为定值，得证. 策略三：先猜后证 要证，即证，也即， 即，即， 也即，也即，显然成立， 也即恒有，为定值，得证. 策略四：曲线替换（一般先要平方） 习题巩固： 1．（2021·辽宁大连·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在上且． （1）求的标准方程； （2）设的左右顶点分别为，，为坐标原点，直线过右焦点且不与坐标垂直，与交于，两点，直线与直线相交于点，证明点在定直线 2．（2021·福建高三其他模拟）椭圆的离心率，在上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为短轴端点，过作直线交椭圆于两点(异于)，直线交于点.求证：点恒在一定直线上. 3.（2023辽宁高考21）21. 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【小问1详解】 设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程. 【小问2详解】 由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 轨迹为圆的： 1. 命题学校：华中师大一附中 命题人：田甜 审题人：王雪冰 吴巨龙 考试时间：2020年12月30日上午8:00—10:00 （21）已知椭圆与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点作一条斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A,B两点，交y轴于点E，P为弦AB的中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q，问是否存在一定点H，使得QH的长度为定值？若存在，则求出点H，若不存在，请说明理由． 2.（2020山东高考22）22．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）． （1）求C的方程： （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 3.已知椭圆的离心率为，且经过点.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点 （异于椭圆的左、右端点）. （1）求椭圆的方程； （2）过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值. 5 学科网（北京）股份有限公司 参数方程与普通方程的互化 (1) (2) (3) . 1．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）， 2．（2015•湖南）已知直线l：（t为参数） 3.（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）． 试卷第1页，总3页 5 学科网（北京）股份有限公司 习题巩固： 1．（2021·辽宁高三二模）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）经过点的直线与相交于，两点，求的最大值． 2. 中点弦问题： 1．（2022·辽宁16）已知直线l与椭圆在第一象限交于A