专题07 全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题07 全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 例1．（22·23下·湖南·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长． 例2．（22·23下·山东·九年级期中）如图，在矩形中，，，在上有一点，若，则和之间有什么数量关系？然后请证明． 例3．（江苏2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 【结论应用】（2）如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；【拓展运用】（3）如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．        例4．（江苏2022-2023学年九年级10月诊断性抽测数学试题）【探究证明】：（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明． 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；【结论应用】：（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为____________；【联系拓展】：（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则=____________． 模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型） 1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）： 如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 3）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似） 例1.（22-23.广东九年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（22·23上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P．(1)求的度数；(2)若，求的值． 例3．（22·23·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    例4．（22·23上·衢州·期末）如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的长． （3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式． 例5．（22·23上·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 例6．（22·23·内江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③若，则S△ABC=6S△BDF；其中