第十八章 正比例函数和反比例函数（8个知识归纳+15类题型突破）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十八章 正比例函数和反比例函数（8个知识归纳+15类题型突破） 1.　掌握变量与函数的概念； 2.　掌握函数的定义域与函数值； 3、掌握正比例函数的概念、图象和性质； 4、掌握反比例函数的概念、图象和性质； 知识点1.变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点2.函数的定义域与函数值 1．函数自变量的取值范围（定义域） 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 2．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点3.正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 知识点4.正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 知识点5.正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 知识点6.反比例函数 1、 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数 学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中称也叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 知识点7.反比例函数的图像和性质 1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 2、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 3、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 4、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 知识点8.用待定系数法求反比例函数解析式 将点坐标代入反比例函数的解析式即可求到反比例函数的解析式； 题型一 常量与变量 1．（2022下·河南·八年级校考期末）球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（    ） A．变量是M，R；常量是 B．变量是R，T；常量是 C．变量是M，T；常量是3，4， D．变量是M，R；常量是M 2．（2022下·河南开封·八年级统考期末）汽车在匀速行驶过程中，路程、速度、时间之间的关系为，下列说法正确的是（    ） A．、、都是变量 B．、是变量，是常量 C．、是变量，是常量 D．、是变量、是常量 巩固训练： 1．（2022下·河南驻马店·八年级统考期中）在圆的周长中，常量与变量分别是(  ) A．是常量，、是变量 B．是常量，、、是变量 C．、是常量，是变量 D．是常量，、是变量 2．（2020下·河北·八年级统考期中）如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为，一边长为，那么在60，s，a中，变量有 个． 3．（2022下·山东青岛·七