专题03 一元二次函数、方程和不等式（考点清单）-2023-2024学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题03 一元二次函数、方程和不等式（考点清单） 目录 一、思维导图 2 二、知识回归 2 三、典型例题讲与练 3 考点清单01 作差法比大小 3 【期末热考题型1】比较两个代数式的大小 3 考点清单02基本不等式的应用 6 【期末热考题型1】和定，求积的最值 6 【期末热考题型2】积定，求和的最值 7 【期末热考题型3】配凑法 8 【期末热考题型4】“1”的妙用 9 【期末热考题型5】代入消元法 10 【期末热考题型6】二次与二次（或一次）商式 12 考点清单03 基本不等式在实际中的应用 14 【期末热考题型1】在实际问题中判断使用基本不等式求最值 14 考点清单04 分类讨论法解决一元二次不等式（含参）问题 17 【期末热考题型1】二次项系数不含参数 17 【期末热考题型2】二次项系数含参 19 【期末热考题型3】不能十字相乘法分解的一元二次不等式 23 考点清单05 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 25 【期末热考题型1】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 25 考点清单06 分式不等式的解法 28 【期末热考题型1】解分式不等式 28 考点清单07 不等式恒成立问题（有解问题） 29 【期末热考题型1】一元二次不等式在上恒（能）成立 29 【期末热考题型2】不等式在区间上恒（能）成立 31 考点清单08 一元二次不等式的实际应用 33 【期末热考题型1】一元二次不等式的实际问题 33 一、思维导图 二、知识回归 知识回顾1：重要不等式 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识回顾2：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） 知识回顾3：四个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识回顾4：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识回顾5：分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 三、典型例题讲与练 01 作差法比大小 【期末热考题型1】比较两个代数式的大小 【解题方法】作差法 【典例1】（多选）（2023上·四川成都·高一树德中学校考期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A项：因为：，，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：由，得：，所以得：，故C项正确； 对于D项：由，，得：， 所以得：，故D项正确； 故选：CD. 【典例2】（2022上·河北衡水·高一校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求的值； (2)当时，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的解集为， 所以，解得. 故k的值为. （2）由（1）知，，所以， 因为，所以，， 所以 ， 所以， 即：. 【专训1-1】（多选）（2023上·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考阶段练习）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【答案】ABC 【详解】由，则， 若， 若，则，故； 若，则，故； 由题设，结合不等式性质显然有； 故选：ABC 【专训1-2】（2023上·浙江金华·高一校考阶段练习）（1）已知，试比较与的大小； （2）已知，为实数，试比较与的大小. 【答案】（1）答案见解析（2）≥ 【详解】（1）【作差比较法，分类讨论】 ∵， 又∵，， ∴当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 综上，当时，；当时，；当时，. （2）【作差比较法，配方变形】 ， 当且仅当，取等号. 所以≥. 02基本不等式的应用 【期末热考题型1】和定，求积的最值 【解题方法】基本不等式 【典例1】（2023上·甘肃酒泉·高一校考期中）若，则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 故选：B. 【典例2】（2023上·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知正数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】因为正数a，b满足，所以，平方化简得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：