福建省莆田第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

莆田四中2023-2024学年高二上学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点与点（ ） A. 关于原点对称 B. 关于x轴对称 C. 关于y轴对称 D. 关于z轴对称 2. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设方程表示的曲线是（ ） A. 一个圆和一条直线 B. 一个圆和一条射线 C. 一个圆 D. 一条直线 4. 已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C D. 1 5. 若直线与圆相切，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（ ） A B. C. D. 8. 在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的很2分，有选错的得0分． 9. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则直线的斜率小于0 B. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C. 斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为 D. 经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 11. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，平面，下列说法正确的是（ ） A. 与所成的角是 B. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是 C. 三棱锥的体积是 D. 与平面所成的角的正弦值是 12. 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为（ ） A. 曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 动点P的横坐标的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的面积的最大值为 三．填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，，若，则实数______． 14. 已知直线，当变化时，直线总经过定点，则定点坐标为______. 15. 如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为______． 16. 已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 圆的圆心为，且过点. （1）求圆的标准方程； （2）直线与圆交两点，且，求. 18. 已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： （1）时，求直线l的方程． （2）当的面积最小时，求直线l的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，O为线段AC与BD的交点，平面ABCD，，于点E． （1）证明：平面PAB； （2）求平面PAB与平面PBC夹角余弦值． 20. 已知椭圆离心率，设点M和N分别是椭圆上不同的两动点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围． 21. 如图，菱形边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥. （1）证明：； （2）若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 22. 在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． （1）求轨迹E的方程； （2）不过圆心且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且