5.3.2.1 函数的极值与最大（小）值-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.2.1函数的极值与最大（小）值 【考点梳理】 考点一：函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 考点二：函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 考点三：函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 考点四：求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【题型归纳】 题型一：求函数的极值 1．（2023下·贵州黔东南·高二统考期末）函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2023下·山东菏泽·高二统考期末）已知函数（），则下列结论正确的是（    ） A．函数一定有极值 B．当时，函数在上为增函数 C．当时，函数的极小值为 D．当时，函数的极小值的最大值大于0 3．（2023上·高二）求下列函数的单调区间、极值点和极值： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型二：由极值求参数 4．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考阶段练习）已知函数在处有极值0，则实数的值为（    ） A．4 B．4或11 C．9 D．11 5．（2023下·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）若函数与函数有相等的极小值，则实数（    ） A． B． C．2 D． 6．（2023下·高二课时练习）已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系 7．（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期中）如图是导函数的图象，则下列说法不正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 8．（2023下·北京通州·高二统考期中）已知函数的导函数为，若的图像如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当时，取得极大值 D．当时，取得最大值 9．（2023下·北京·高二北京五十五中校考期中）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①；②；③函数在区间上是增函数.其中正确的判断是（    ） A．① B．② C．②③ D．①② 题型四：函数的最值与极值的关系 10．（2023下·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值． B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值． C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取