抛物线周末强基训练-2024届高三数学一轮复习

抛物线周末强基训练 一、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0，y0)) ＝x0＋　 ＝－x0＋　 ＝　y0＋　 ＝　－y0＋　 二、与焦点弦有关的常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝， |BF|＝， |AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． （7）通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. （8）以CD为直径的圆过F。 三、题型分析 （一）抛物线方程的定义和标准方程 1、过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　) A．9　　　　　B．8 C．7 D．6 2、（2022·全国高三）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．2 B． C． D．4 3、（2023·新疆·统考三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． （二）抛物线有关最值 4 （2022·福建高三期末））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 5. (2022·深圳模拟)是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________． 6、（2022·全国）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（    ） A．23 B．26 C．36 D．62 （三）抛物线的焦点弦问题 7、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4　　　　　　B. C．5 D．6 8、（2017·全国高考）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 9.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B． C．4 D．1 4、 直线与抛物线的位置关系 10、（2023秋·课时练习）（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2023秋·课时练习）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（　　） A． B． C．1 D．2 5、 弦长 12．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B．或3 C．或2 D．3 13．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线AB过焦点F时，最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为时， C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5 D． 六、直线与抛物线的综合问题 14、（2022·湖北模拟）已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线的标准方程； （2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 15．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且． (1)求抛物线E的方程； (2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抛物线周末强基训练 一、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程