微专题12：函数的最值-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重要专题复习课课件（沪教版2020必修第一册）

【沪教版2020】高中数学必修第一册 微专题：函数的最值 第 5 章 函数的概念、 性质及应用 5.2 函数的基本性质 课程 标准 内容要求 学业要求 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 会求一些简单函数的最大值与最小值． 知识梳理 00. 任意 ≤ ≥ 知识梳理 00. 高 低 知识梳理 00. 知识梳理 00. × × × 题型例析 01. 题型例析 01. 方法归纳 题型例析 01. 题型例析 01. 方法归纳 题型例析 01. 题型例析 01. 题型例析 01. 方法归纳 题型例析 01. B 题型例析 01. D 课堂小结 02. 课堂小结 02. 课堂练习 03. 课堂练习 03. 课堂练习 03. 课堂练习 03. 课堂练习 03. 课堂练习 03. 1、函数的最大值、最小值　 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： 对于eq \x(1)__________的x∈D，都有 f(x)eq \x(2)________ M f(x)eq \x(3)__________ M 存在x0∈D，使得eq \x(4)__________ f(x0)＝M 最大值 最小值 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最eq \x(5)_____点的纵坐标 f(x)图象上最eq \x(6)_______点的纵坐标 表示 max min 【思考】函数的最值与值域是一回事吗？ 【解析】不是．最值与值域是不同的， 值域是一个集合， 而最值只是这个集合中的一个元素． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为1. (　　) （2）若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立， 则f(x)的最大值为M. (　　) （3）函数f(x)＝x的最大值为＋∞. (　　) 【解析】（1）×；因为在定义域内找不到x使得x2＝－1成立； （2）×；因为“无数”并非“所有”，故不正确； （3）×；“＋∞”不是一个具体数； 题型一、图象法求函数的最值　 例1、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)，x∈－∞，0，,x2＋2x－1，x∈[0，＋∞.)) （1）画出函数的图象并写出函数的单调区间； （2）根据函数的图象求出函数的最小值． 【解析】（1）函数的图象如图所示． 由图象可知f(x)的 严格单调递增区间为(－∞，0) 和[0，＋∞)，无递减区间． （2）由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1. 例2、求函数y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值． 【提示】先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可； 【解析】原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＋1，－2≤x≤－1，,3，－1<x≤2，,2x－1，2<x≤4，)) 图象如图． 故函数的最小值为3，最大值为7. 用图象法求最值的一般步骤 题型二、利用函数单调性求最值 例3、已知函数f(x)＝eq \f(x,x－1). （1）用函数单调性定义证明f(x)＝eq \f(x,x－1) 在(1，＋∞)上是单调减函数； （2）求函数f(x)＝eq \f(x,x－1)在区间[3，4]上 的最大值与最小值． 【提示】（1）利用单调性的定义证明；（2）利用（1）的结论求最值． 【解析】（1）证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1－1)－eq \f(x2,x2－1)＝eq \f(x2－x1,x1－1x2－1)， 因为1<x1<x2. 所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 故函数f(x)＝eq \f(x,x－1)在(1，＋∞)上为单调递减函数． （2）由上述(1)可知，函数f(x)＝eq \f(x,x－1)在[3,4]上为单调递减函数，所以在x＝3时，函数f(x)＝eq \f(x,x－1)取得最大值eq \f(3,2)； 在x＝4时，函数f(x)＝eq \f(x,x－1)取得最小值eq \f(4,3). 例4、已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]． （1）判断函数f(x)的单调性，并证明； （2）求函数f(x)的最大值和最小值． 【解析】（1）f(x)是增函数．证明如下： 任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2， f(x1